Pirmā zīme par trijstūru vienlīdzību. Otrā un trešā trīsstūru vienlīdzības pazīme

Starp daudzajiem daudzstūriem,kas būtībā ir slēgta, nesalīdzinoša līnija, trīsstūris ir skaitlis ar vismazāko leņķu skaitu. Citiem vārdiem sakot, tas ir vienkāršākais daudzstūris. Bet, neskatoties uz tās vienkāršību, šis skaitlis ir pilns ar daudzām mistērijām un interesantiem atklājumiem, ko izgaismo īpaša matemātikas daļa - ģeometrija. Šī disciplīna skolās sāk mācīties no septītās pakāpes, un tematam "Trīsstūris" šeit tiek pievērsta īpaša uzmanība. Bērni ne tikai iemācīs noteikumus par sevi, bet arī salīdzina tos, pētot 1., 2. un 3. trijstūra vienlīdzības pazīmes.

Pirmā iepazīšanās

Viens no pirmajiem noteikumiem, lai iepazītosskolēni, tas izklausās šādi: visu trijstūra leņķu vērtību summa ir 180 grādi. Lai to apstiprinātu, ir pietiekami, lai mērītu katru virsotni, izmantojot kontūru un pievienojiet visas iegūtās vērtības. Pamatojoties uz to, ar divām zināmām vērtībām, ir viegli noteikt trešo. Piemēram: Trīsstūrī viens no leņķiem ir 70 °, bet otrs ir 85 °, kāda ir trešā leņķa vērtība?

180 - 85 - 70 = 25.

Atbilde: 25 °.

Uzdevumi var būt sarežģītāki, ja ir norādīta tikai viena leņķa vērtība, un par otro vērtību tiek teikts tikai tas, cik daudz vai cik reizes tas ir lielāks vai mazāks.

Trijstūrī, lai noteiktu vienu vai otru tā pazīmi, var uzzīmēt īpašas līnijas, katrai no tām ir savs nosaukums:

• augstums - perpendikulāra līnija, kas novilkta no augšas uz pretējo pusi;
• visi trīs vienlaicīgi vilktie augstumi krustojas figūras centrā, veidojot ortocentru, kas atkarībā no trijstūra veida var būt gan iekšpusē, gan ārpusē;
• mediāna - līnija, kas savieno augšu ar pretējās puses vidusdaļu;
• mediānu krustojums ir tā smaguma punkts, kas atrodas figūras iekšpusē;
• bisektors - līnija, kas iet no virsotnes uz krustošanās punktu ar pretējo pusi, trīs bisektoru krustošanās punkts ir ierakstītā apļa centrs.

Vienkāršas patiesības par trijstūriem

Trīsstūriem, tāpat kā visām formām, ir savas īpašības un īpašības. Kā jau minēts, šis skaitlis ir vienkāršākais daudzstūris, bet tam ir raksturīgas iezīmes:

• leņķis ar lielāku vērtību vienmēr atrodas pretī garākajai pusei un otrādi;
• vienādi leņķi atrodas pretī vienādām pusēm, piemērs tam ir vienādsānu trijstūris;
• iekšējo leņķu summa vienmēr ir 180 °, kas jau ir pierādīts ar piemēru;
• kad viena trijstūra mala ir izstiepta ārpus tās robežām, veidojas ārējs leņķis, kas vienmēr būs vienāds ar leņķu summu, kas tam nav blakus;
• jebkura puse vienmēr ir mazāka par pārējo divu pušu summu, bet lielāka par to atšķirību.

Trijstūru veidi

Nākamais iepazīšanās posms ir grupas noteikšana, kurai pieder uzrādītais trijstūris. Piederība vienai vai otrai sugai ir atkarīga no trīsstūra leņķiem.

• Vienādsānu - ar divām vienādām pusēm,ko sauc par sānu, trešais šajā gadījumā darbojas kā figūras pamats. Šāda trīsstūra pamatnes leņķi ir vienādi, un no augšas novilktais mediāns ir bisektors un augstums.
• Regulārs vai vienādmalu trijstūris ir tāds, kurā visas tā malas ir vienādas.
• Taisnstūra: viens no tā stūriem ir 90 °. Šajā gadījumā pusi, kas atrodas pretī šim leņķim, sauc par hipotenūzu, bet pārējās divas - par kājām.
• Akūts trīsstūris - visi leņķi ir mazāki par 90 °.
• Obtuse - viens no leņķiem ir lielāks par 90 °.

Trijstūru vienādība un līdzība

Mācību procesā viņi ne tikai apsvervienu skaitli, bet arī salīdziniet divus trīsstūrus. Un šai šķietami vienkāršajai tēmai ir daudz noteikumu un teorēmu, ar kuru palīdzību var pierādīt, ka attiecīgie skaitļi ir vienādi trijstūri. Trijstūru vienādības testi ir definēti šādi: trijstūri ir vienādi, ja to atbilstošās malas un leņķi ir vienādi. Ar šādu vienlīdzību, ja jūs uzliekat šos divus skaitļus viens otram virsū, visas to līnijas saplūst. Arī skaitļi var būt līdzīgi, jo īpaši tas attiecas uz praktiski identiskiem skaitļiem, kas atšķiras tikai pēc lieluma. Lai izdarītu šādu secinājumu par uzrādītajiem trijstūriem, ir jāievēro viens no šiem nosacījumiem:

• divi vienas figūras stūri ir vienādi ar diviem otras stūriem;
• viena puse ir proporcionāla otrā trijstūra abām pusēm, un sānu veidotie leņķi ir vienādi;
• otrās figūras trīs puses ir vienādas ar pirmo.

Protams, par nenoliedzamu vienlīdzību, kas tā navneradīs ne mazākās šaubas, ir nepieciešams, lai visiem abu skaitļu elementiem būtu vienādas vērtības, tomēr, izmantojot teorēmas, problēma ir ievērojami vienkāršota, un ir atļauts izmantot tikai dažus nosacījumus, lai pierādītu trijstūru vienādību.

Pirmā trijstūru vienlīdzības pazīme

Uzdevumi par šo tēmu tiek risināti, pamatojoties uzteorēmas pierādījums, kas izklausās šādi: "Ja trīsstūra divas puses un leņķis, ko tās veido, ir vienādas ar divām malām un cita trīsstūra leņķi, tad arī skaitļi ir vienādi."

Kā notiek teorēmas pierādījums par pirmotrijstūru vienlīdzības zīme? Ikviens zina, ka divi līniju segmenti ir vienādi, ja tie ir vienāda garuma, vai apļi ir vienādi, ja tiem ir vienāds rādiuss. Trīsstūru gadījumā ir vairākas zīmes, kurām var pieņemt, ka skaitļi ir identiski, kas ir ļoti ērti lietojams, risinot dažādas ģeometriskas problēmas.

Teorēmas skaņa "Pirmais trīsstūru vienādības kritērijs" ir aprakstīts iepriekš, bet šeit ir tās pierādījums:

• Teiksim, trijstūri ABC un A₁Tajā₁C₁ ir vienādas AB un A puses₁Tajā₁ un attiecīgi ВС un В₁C₁, un leņķiem, kurus veido šīs puses, ir vienāds lielums, tas ir, vienāds. Tad, uzliekot △ AB AB C AB₁Tajā₁C_1, mēs iegūstam visu līniju un virsotņu sakritību. No tā izriet, ka šie trīsstūri ir absolūti identiski, kas nozīmē, ka tie ir vienādi viens ar otru.

Teorēmu "Pirmā trijstūru vienādības zīme" sauc arī par "No divām pusēm un leņķi". Patiesībā tā ir tās būtība.

Otrā kritērija teorēma

Otrs vienlīdzības kritērijs ir pierādīts līdzīgi,pierādījums ir balstīts uz to, ka tad, kad formas ir uzliktas viena otrai, tās pilnīgi sakrīt visās virsotnēs un sānos. Un teorēma izklausās šādi: "Ja viena mala un divi leņķi, kuru veidošanā tā piedalās, atbilst otrā trijstūra malai un diviem stūriem, tad šie skaitļi ir identiski, tas ir, vienādi."

Trešā zīme un pierādījums

Ja gan 2, gan 1 ir vienādas zīmestrīsstūri pieskārās gan figūras malām, gan stūriem, tad 3. attiecas tikai uz malām. Tātad teorēmai ir šāds formulējums: "Ja viena trijstūra visas malas ir vienādas ar otrā trijstūra trim malām, tad skaitļi ir identiski."

Lai pierādītu šo teorēmu, jums nepieciešama sīkāka informācijaiedziļināties pašā vienlīdzības definīcijā. Būtībā, ko nozīmē “trijstūri ir vienādi”? Identitāte liek domāt, ka, ja jūs uzliekat vienu figūru virs otras, visi to elementi sakritīs, tas var notikt tikai tad, ja to malas un leņķi ir vienādi. Tajā pašā laikā leņķis pretī vienai no malām, kas ir tāds pats kā otram trijstūrim, būs vienāds ar atbilstošo otrā skaitļa virsotni. Jāatzīmē, ka šajā brīdī pierādījumu var viegli pārtulkot vienā trijstūru vienādības pārbaudē. Gadījumā, ja šāda secība netiek ievērota, trijstūru vienādība ir vienkārši neiespējama, izņemot tos gadījumus, kad attēls ir pirmā spoguļattēls.

Taisnstūra trīsstūri

Šādu trijstūru struktūrā vienmēr ir virsotnes ar 90 ° leņķi. Tādēļ ir patiesi šādi apgalvojumi:

• trijstūri ar taisniem leņķiem ir vienādi, ja viena kāja ir identiska otrajai;
• skaitļi ir vienādi, ja to hipotenūze un viena no kājām ir vienādas;
• šādi trijstūri ir vienādi, ja to kājas un asais leņķis ir identiski.

Šī funkcija attiecas uz taisnstūrveidatrijstūri. Lai pierādītu teorēmu, skaitļi tiek piemēroti viens otram, kā rezultātā trijstūri tiek salocīti ar kājām, lai attīstīts leņķis ar malām CA un CA nāk no divām taisnām līnijām₁.

Praktiskais pielietojums

Vairumā gadījumu praksēpirmā trijstūru vienlīdzības zīme. Faktiski šāda šķietami vienkārša 7. klases tēma par ģeometriju un planimetriju tiek izmantota arī, lai aprēķinātu, piemēram, telefona kabeļa garumu, nemērot reljefu, pa kuru tas šķērsos. Ar šīs teorēmas palīdzību ir viegli veikt nepieciešamos aprēķinus, lai noteiktu salas garumu upes vidū, to nepārsniedzot. Vai nu nostipriniet žogu, ievietojot stieni laidumā tā, lai tas sadalītu to divos vienādos trijstūros, vai arī aprēķiniet sarežģītos darba elementus galdniecībā vai aprēķinot jumta kopņu sistēmu būvniecības laikā.

Pirmā trijstūru vienlīdzības pazīme ir plaši piemērojama reālajā "pieaugušo" dzīvē. Lai arī skolas gados šī konkrētā tēma daudziem šķiet garlaicīga un pilnīgi nevajadzīga.