Kopā ar atvasinājumiem to funkcijas atšķirības ir viens no atšķirības pamatjēdzieniemmatemātiskās analīzes galvenā daļa. Tā kā abas no tām ir savstarpēji cieši saistītas, tās jau vairākus gadsimtus ir aktīvi izmantotas, lai atrisinātu gandrīz visas problēmas, kas radušās cilvēka zinātniskās un tehniskās darbības procesā.
Vispirms noskaidroja, kāda ir atšķirībastarp slaveno vācu matemātiķi Gottfriedu Vilhelmu Leibnizu (kopā ar Isaacu Newtonu). Pirms tam, 17 grādu matemātiķi. ļoti neskaidra un neskaidra ideja tika izmantota kādai bezgalīgi nelielai jebkuras zināmas funkcijas “nedalāmai” daļai, kas pārstāvēja ļoti mazu konstantu vērtību, bet nav vienāda ar nulli, mazāka par to, kuru funkcijas funkcijas vienkārši nevar būt. No šejienes bija tikai viens solis, pirms tika ieviesta ideja par funkciju argumentu bezgalīgu pieaugumu un attiecīgo funkciju pieaugumu, kas izteikts kā pēdējo atvasinājumu. Un šis solis tika veikts gandrīz vienlaicīgi ar diviem augstajiem zinātniekiem.
Pamatojoties uz nepieciešamību risināt šo problēmuŅūtons un Leibnica radīja kopējus veidus, kā atrast funkciju maiņas ātrumu (īpaši attiecībā uz ķermeņa kustības mehānisko ātrumu pa zināmu trajektoriju), kas noveda pie tādu jēdzienu ieviešanas kā funkciju atvasinājums un atšķirība un arī atklāja algoritmu apgrieztās problēmas risināšanai, kā atrast ceļu, ko ceļojis ar zināmu (mainīgu) ātrumu, kas noveda pie neatņemama jēdziena rašanās.
Leibnica un Ņūtona rakstos pirmo reizi parādījāsideja, ka diferenciāli ir proporcionāli argumentu pieaugumam Δх, ir galvenās funkcijas ΔY pieaugumu daļas, kuras var veiksmīgi izmantot, lai aprēķinātu pēdējo vērtību. Citiem vārdiem sakot, viņi atklāja, ka funkciju pieaugums var būt jebkurā punktā (tās definīcijas apgabalā), kas izteikts ar tā atvasinājumu, kā Δу = y "(x) Δх + αΔх, kur α Δх ir atlikušais termiņš, kas ir līdz nullei kā Δх → 0, daudz ātrāk nekā pati Δx.
Saskaņā ar analīzes dibinātājiem,atšķirības ir tikai pirmie termini jebkuru funkciju pieauguma izteiksmē. Kamēr vēl nav skaidri formulēts ierobežojumu secību jēdziens, viņi intuitīvi saprata, ka diferenciāla lieluma tendence ir funkcijas atvasinājums kā Δx → 0 - Δy / Δx → y "(x).
Atšķirībā no Ņūtona, kurš galvenokārt bijafiziķis un uzskatīja matemātisko aparātu par palīginstrumentu fizisko problēmu izpētei, Leibnics pievērsa lielāku uzmanību tieši šim instrumentu kopumam, tostarp vizuālo un saprotamo matemātisko lielumu apzīmējumu sistēmai. Tas bija tas, kurš piedāvāja vispārpieņemto apzīmējumu funkcijas dy = y "(x) dx, argumenta dx un funkcijas atvasinājuma diferenciāliem to attiecību y" (x) = dy / dx formā.
Kas ir atšķirība no mūsdienu matemātikas viedokļa? Tas ir cieši saistīts ar mainīgā pieauguma jēdzienu. Ja mainīgais y vispirms ņem vērtību y = y1un pēc tam y = y2, tad starpība y2 ─ y1 sauc par y pieaugumu.
Ja patvaļīgas funkcijas Δу vērtība y = f (x)ir iespējams attēlot formā Δу = A Δх + α, kur A nav atkarīgs no Δх, t.i., A = const attiecībā uz doto x, un termins α pie Δх → 0 tiecas uz to vēl ātrāk nekā pats Δх, tad pirmais ("Galvenais") termins ir proporcionāls Δх, un y = f (x) ir diferenciālis, kas apzīmēts dy vai df (x) (skan "de yrek", "de eff from x"). Tāpēc diferenciāļi ir funkciju pieauguma "galvenie" komponenti, lineāri attiecībā pret Δх.
Ļaujiet s = f (t) būt taisnas līnijas attālumamkustīgais materiāla punkts no sākotnējā stāvokļa (t ir ceļā pavadītais laiks). Pieaugums Δs ir punkta ceļš laika intervālā Δt, un diferenciālis ds = f "(t) Δt ir ceļš, kuru punkts būtu nobraucis tajā pašā laikā Δt, ja tas būtu saglabājis ātrumu f" (t), kas sasniegts laikā t ... Bezgalīgi mazam Δt iedomātais ceļš ds no patiesajiem Δs atšķiras ar bezgalīgi mazu vērtību, kurai ir augstāka kārtība attiecībā pret Δt. Ja ātrums laikā t nav nulle, tad ds dod aptuvenu vērtību mazajam punkta pārvietojumam.
Ļaujiet līnijai L būt y = f (x) grafikam.Tad Δ х = MQ, Δу = QM "(skatīt attēlu zemāk). Pieskares līnija MN sadala segmentu Δу divās daļās: QN un NM". Pirmais ir proporcionāls Δх un ir vienāds ar QN = MQ ∙ tg (leņķis QMN) = Δх f "(x), ti, QN ir diferenciālais dy.
Otrā daļa NM "dod starpību Δу ─ dy, pie Δх → 0garums NM "samazinās pat ātrāk nekā argumenta pieaugums, tas ir, tā mazuma secība ir augstāka nekā Δx. Konkrētajā gadījumā f" (x) ≠ 0 (tangenss nav paralēls OX) segmenti QM "un QN ir līdzvērtīgi; citiem vārdiem sakot, NM "samazinās ātrāk (tā mazuma secība ir lielāka) nekā kopējais pieaugums Δу = QM". To var redzēt attēlā (kad M "tuvojas M, NM segments" veido mazāku QM segmenta procentuālo daļu ").
Tātad grafiski patvaļīgas funkcijas starpība ir vienāda ar tās pieskares ordinātu pieaugumu.
Koeficients A izteiksmes pirmajā izteiksmē funkcijas pieaugumam ir vienāds ar tā atvasinājuma f "(x) vērtību. Tādējādi pastāv šāda sakarība - dy = f" (x) Δх, vai df (x) = f "(x) Δх.
Ir zināms, ka neatkarīga argumenta pieaugums ir vienāds ar tā diferenciāli Δх = dx. Attiecīgi jūs varat rakstīt: f "(x) dx = dy.
Diferenciālu atrašana (dažreiz viņi saka: “risināšana”) tiek veikta saskaņā ar tiem pašiem noteikumiem kā atvasinājumiem. To saraksts ir sniegts zemāk.
Šeit ir nepieciešami daži paskaidrojumi.Diferenciālā daudzuma f "(x) Δх attēlojums ir iespējams, uzskatot x par argumentu. Bet funkcija var būt sarežģīta, kurā x var būt kāda argumenta t funkcija. Tad diferenciālis attēlots ar izteicienu f" (x) Δх, kā likums, nav iespējams; izņemot lineārās atkarības gadījumu х = pie + b.
Kas attiecas uz formulu f "(x) dx = dy, tad neatkarīga argumenta x gadījumā (tad dx = Δx) un x parametru atkarības no t gadījumā tas ir diferenciālis.
Piemēram, izteiksme 2 x Δx apzīmē y = x2 tā atšķirība, kad x ir arguments. Tagad mēs ieliekam x = t2 un mēs uzskatīsim t par argumentu. Tad y = x2 = t4.
Pēc tam seko (t + Δt)2 = t2 + 2tΔt + Δt2... Tādējādi Δх = 2tΔt + Δt2... Nozīmē: 2xΔx = 2t2 (2tΔt + Δt2 )
Šī izteiksme nav proporcionāla Δt, un tāpēc tagad 2xΔx nav diferenciālis. To var atrast no vienādojuma y = x2 = t4... Izrādās vienāds ar dy = 4t3Δt.
Ja ņemam izteiksmi 2xdx, tad tas apzīmē diferenciālo y = x2 par jebkuru argumentu t. Patiešām, attiecībā uz x = t2 mēs iegūstam dx = 2tΔt.
Tātad 2xdx = 2t22tΔt = 4t3Δt, t.i., divu dažādu mainīgo izteiksmē uzrakstīto diferenciālo izteiksmju sakritība.
Ja f "(x) ≠ 0, tad Δу un dy ir ekvivalenti (kad Δх → 0); ja f" (x) = 0 (tas nozīmē dy = 0), tie nav līdzvērtīgi.
Piemēram, ja y = x2, tad Δу = (x + Δх)2 ─ x2= 2xΔx + Δx2un dy = 2xΔx. Ja x = 3, tad mums ir Δy = 6Δx + Δx2 un dy = 6Δх, kas ir ekvivalenti Δх dēļ2→ 0, pie х = 0 vērtības Δу = Δх2 un dy = 0 nav līdzvērtīgi.
Šis fakts kopā ar vienkāršu struktūrudiferenciālo (t.i., linearitāti attiecībā pret Δx), bieži izmanto aptuvenos aprēķinos, pieņemot, ka Δу ≈ dy maziem Δх. Funkcijas atšķirības atrašana parasti ir vienkāršāka nekā precīzas pieauguma vērtības aprēķināšana.
Piemēram, mums ir metāla kubs ar malu x = 10,00 cm. Sildot, mala pagarinājās par Δх = 0,001 cm. Cik daudz ir palielinājies kuba tilpums V? Mums ir V = x2tātad dV = 3x2Δх = 3 ∙ 102∙ 0/01 = 3 (cm3). Tilpuma ΔV pieaugums ir vienāds ar diferenciālo dV, tā ka ΔV = 3 cm3... Pilnīgs aprēķins dotu ΔV = 10.013 ─ 103 = 3,003001. Bet šajā rezultātā visi skaitļi, izņemot pirmo, ir neuzticami; tāpēc, vienalga, jums tas jānoapaļo līdz 3 cm3.
Acīmredzot šī pieeja ir noderīga tikai tad, ja ir iespējams novērtēt ieviestās kļūdas lielumu.
Mēģināsim atrast funkcijas y = x diferenciāli3neatrodot atvasinājumu. Dosim argumentam pieaugumu un definēsim Δу.
Δу = (Δх + x)3 ─ x3 = 3x2Δx + (3xΔx2 + Δx3)
Šeit koeficients A = 3x2 nav atkarīgs no Δx, tā ka pirmais locījums ir proporcionāls Δx, bet otrs ir 3xΔx2 + Δx3 pie Δх → 0 samazinās ātrāk nekā argumenta pieaugums. Tātad penis 3x2Δх ir diferenciālis y = x3:
dy = 3x2Δх = 3x2dx vai d (x3) = 3x2dx.
Turklāt d (x3) / dx = 3x2.
Ļaujiet mums tagad atrast funkcijas y = 1 / x dy attiecībā uz tās atvasinājumu. Tad d (1 / x) / dx = ─1 / x2... Tāpēc dy = ─ Δх / х2.
Algebrisko pamatfunkciju atšķirības ir norādītas zemāk.
Bieži vien ir viegli aprēķināt funkciju f (x), kā arī tās atvasinājumu f "(x) x = a, bet to nav viegli izdarīt punkta x = a tuvumā. Tad glābšanai nāk aptuvena izteiksme.
f (a + Δх) ≈ f "(a) Δх + f (a).
Tas dod aptuvenu funkcijas vērtību ar nelielu pieaugumu Δх caur tās diferenciālo f "(a) Δх.
Tāpēc šī formula dod aptuvenufunkcijas izteiksme noteiktas garuma Δx sekcijas galapunktā kā tās vērtības summa šīs sadaļas sākuma punktā (x = a) un diferenciālis tajā pašā sākuma punktā. Šīs metodes vērtības noteikšanas kļūda ir parādīta zemāk redzamajā attēlā.
Tomēr ir zināma arī precīzā funkcijas x = a + Δх izteiksme, ko izsaka ar galīgo pieaugumu formulu (vai, citādi, ar Lagranžas formulu)
f (a + Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f (a),
kur punkts x = a + ξ atrodas uz segmenta no x = alīdz x = a + Δх, lai gan tā precīza atrašanās vieta nav zināma. Precīza formula ļauj novērtēt aptuvenās formulas kļūdu. Ja tomēr Lagranžas formulā mēs ievietojam ξ = Δx / 2, tad, lai arī tas vairs nav precīzs, tas parasti dod daudz labāku tuvinājumu nekā sākotnējā izteiksme caur diferenciāli.
Mērinstrumenti principā ir neprecīzi, uniekļaut attiecīgās kļūdas mērījumu datos. Tos raksturo ierobežojošā absolūtā kļūda vai, īsāk sakot, ierobežojošā kļūda - pozitīvs skaitlis, kas acīmredzami pārsniedz šo kļūdu absolūtā vērtībā (vai galējā gadījumā ir vienāds ar to). Ierobežojošo relatīvo kļūdu sauc par tās dalījuma koeficientu ar izmērītās vērtības absolūto vērtību.
Ļaujiet izmantot precīzu formulu y = f (x)funkcijas y aprēķins, bet x vērtība ir mērījuma rezultāts, un tāpēc y ievada kļūdu. Pēc tam, lai atrastu funkcijas y maksimālo absolūto kļūdu │Δу│, izmantojiet formulu
│Δу│≈│dy│ = │ f "(x) ││Δх│,
kur │Δх│ ir argumenta ierobežojošā kļūda. Vērtībai │Δу│ jābūt noapaļotai uz augšu, jo ir neprecīzi aizstāt pieauguma aprēķinu ar paša diferenciālā aprēķinu.