Enkel iterasjonsmetode, også kalt metodesekvensiell tilnærming er en matematisk algoritme for å finne verdien av en ukjent mengde ved gradvis å foredle den. Essensen av denne metoden er at de, som navnet tilsier, gradvis uttrykker de etterfølgende fra den første tilnærmingen, får mer og mer presise resultater. Denne metoden brukes til å finne verdien av en variabel i en gitt funksjon, samt ved løsning av ligningssystemer, både lineære og ikke-lineære.
Vurder hvordan denne metoden implementeres når du løser SLAE. Den enkle iterasjonsmetoden har følgende algoritme:
1.Verifisering av konvergensbetingelsen i den opprinnelige matrisen. Konvergensteorem: hvis den opprinnelige matrisen til systemet har en diagonal utbredelse (dvs. i hver rad må elementene i hoveddiagonalen være større i absolutt verdi enn summen av elementene i siddiagonalene i absolutt verdi), så er den enkle iterasjonsmetoden konvergent.
2.Matrisen til det originale systemet har ikke alltid en diagonal utbredelse. I slike tilfeller kan systemet transformeres. Ligninger som tilfredsstiller konvergensbetingelsen blir ikke berørt, og med utilfredsstillende er de lineære kombinasjoner, d.v.s. multiplisere, trekke fra, legge til ligninger til hverandre for å oppnå ønsket resultat.
Hvis det resulterende systemet har upraktiske koeffisienter på hoveddiagonalen, legges vilkår for form c til begge sider av denne ligningenog* sog, hvis tegn må sammenfalle med tegn på diagonale elementer.
3. Konvertere det resulterende systemet til normal visning:
med-= β-+ α * x-
Dette kan gjøres på mange måter, for eksempel som følger: fra den første ligningen uttrykk x1 gjennom andre ukjente, fra den andre2, fra den tredje3 etc. Vi bruker formlene:
αhenne= - (ahenne / aii)
og= bog/ aog
Det skal igjen bekreftes at det resulterende systemet av normal type oppfyller konvergensbetingelsen:
∑ (j = 1) | αhenne| ≤ 1, med i = 1,2, ... n
4. Vi begynner å bruke metoden for påfølgende tilnærminger i seg selv.
med(0)- innledende tilnærming, uttrykker vi gjennom det x(1), deretter gjennom x(1) uttrykk x(2). Den generelle formelen i matriseform ser slik ut:
med(N)= β-+ α * x(N-1)
Vi beregner til vi når den nødvendige nøyaktigheten:
maks | xog(k) -xog(k + 1) ≤ ε
Så la oss ta en titt på den enkle iterasjonsmetoden i praksis. Et eksempel:
Løs SLAU:
4,5x1-1,7x2 + 3,5x3 = 2
3,1x1 + 2,3x2-1,1x3 = 1
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4 med en nøyaktighet på ε = 10-3
La oss se om de diagonale elementene råder modulo.
Vi ser at bare den tredje ligningen tilfredsstiller konvergensbetingelsen. Vi transformerer det første og det andre, legger det andre til den første ligningen:
7,6x1 + 0,6x2 + 2,4x3 = 3
Trekk den første fra den tredje:
-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2
Vi konverterte det originale systemet til et tilsvarende system:
7,6x1 + 0,6x2 + 2,4x3 = 3
-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4
Nå bringer vi systemet til sin normale form:
x1 = 0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2 = 0,4762 + 0,6429x1-0,2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2
Sjekk konvergensen av den iterative prosessen:
0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, d.v.s. betingelsen er tilfreds.
0,3947
X innledende tilnærming(0) = 0,4762
0,8511
Vi erstatter disse verdiene i ligningen til normalform, vi oppnår følgende verdier:
0,08835
med(1)= 0,486793
0,446639
Erstatte nye verdier, får vi:
0,215243
med(2)= 0,405396
0,558336
Vi fortsetter beregningen til vi kommer nærmere verdiene som tilfredsstiller den gitte betingelsen.
0,18813
med(7)= 0,441091
0,544319
0,188002
med(8) = 0,44164
0,544428
Sjekk riktigheten av resultatene:
4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2 0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1,1x * 0,544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977
Resultatene oppnådd ved å erstatte de funnet verdiene i de opprinnelige ligningene tilfredsstiller likhetens betingelser.
Som vi ser gir den enkle iterasjonsmetoden ganske nøyaktige resultater, men for å løse denne ligningen måtte vi bruke mye tid og gjøre tungvint beregning.
