Wiele zadań o charakterze ekonomicznym, problemyplanowanie, a nawet rozwiązywanie problemów z innych dziedzin życia ludzkiego wiąże się ze zmiennymi związanymi z liczbami całkowitymi. W wyniku ich analizy i poszukiwania optymalnych rozwiązań pojawiła się koncepcja ekstremalnego problemu. Jego cechy to powyższa cecha, która przyjmuje wartość całkowitą, a samo zadanie jest traktowane w matematyce jako programowanie liczb całkowitych.
Jako główny kierunek użytkowaniazadania ze zmiennymi o wartościach całkowitych to optymalizacja. Metoda wykorzystująca całkowite programowanie liniowe jest również nazywana metodą obcinania.
Metoda Gomori ma swoją nazwę po nazwiematematyka, która jako pierwsza opracowała algorytm z lat 1957–1958, który jest nadal szeroko stosowany do rozwiązywania problemów programowania liniowego w liczbach całkowitych. Kanoniczna postać problemu programowania liczb całkowitych pozwala nam w pełni i w pełni ujawnić zalety tej metody.
Метод Гомори применительно к линейному programowanie znacznie komplikuje zadanie znalezienia optymalnych wartości. Rzeczywiście, oprócz wszystkich parametrów problemu, głównym warunkiem jest integralność. Często zdarza się, że problem mający dopuszczalne plany (całkowite), jeśli funkcje celu mają ograniczenia dotyczące dopuszczalnego zestawu, nie osiąga maksimum w rozwiązaniu. Wynika to z braku rozwiązań liczb całkowitych. Bez tego warunku z reguły odpowiedni wektor znajduje się w postaci roztworu.
Aby uzasadnić algorytmy numeryczne w rozwiązywaniu problemów, konieczne jest nałożenie różnych dodatkowych warunków.
Korzystając z metody Gomori, wieluplany problemów ograniczone przez tak zwany wielościan rozwiązań. Z tego wynika, że zbiór wszystkich planów całkowitych dla zadania ma skończoną wartość.
Ponadto, aby upewnić się, że są one liczbami całkowitymi, funkcje zakładają, że współczynniki wartości są również liczbami całkowitymi. Pomimo nasilenia takich warunków można je nieco osłabić.
W rzeczywistości metoda Gomoriego polega na konstrukcji ograniczeń, które odcinają rozwiązania, które nie są liczbami całkowitymi. W tym przypadku żadne rozwiązanie planu liczb całkowitych nie jest odcięte.
Algorytm rozwiązania problemu obejmujeznajdowanie odpowiednich opcji metodą simplex, bez uwzględnienia warunków całkowitych. Jeśli wszystkie składniki planu optymalnego zawierają rozwiązania w postaci liczb całkowitych, wówczas cel programowania w postaci liczb całkowitych można uznać za osiągnięty. Możliwe, że problem jest nierozstrzygalny, więc otrzymujemy dowód, że problem programowania liczb całkowitych nie ma rozwiązania.
Opcja jest możliwa, gdy komponentyoptymalne rozwiązanie zawiera liczby niecałkowite. W takim przypadku do wszystkich ograniczeń zadania zostanie dodane nowe ograniczenie. Nowe ograniczenie charakteryzuje się szeregiem właściwości. Przede wszystkim musi być liniowy, musi odciąć plan niecałkowity od znalezionego zbioru optymalnego. Żadne rozwiązanie oparte na liczbach całkowitych nie powinno zostać utracone ani obcięte.
Przy konstruowaniu wiązania należy wybrać składową planu optymalnego o największej części ułamkowej. To właśnie to ograniczenie zostanie dodane do istniejącej tabeli simplex.
Rozwiązanie uzyskanego problemu znajdujemy za pomocązwykłe transformacje simplex. Sprawdzamy rozwiązanie problemu pod kątem obecności optymalnego planu opartego na liczbach całkowitych, jeśli warunek jest spełniony, problem jest rozwiązany. Jeżeli ponownie wynik uzyskano przy obecności rozwiązań niecałkowitych, to wprowadzamy dodatkowe ograniczenie i powtarzamy proces obliczeń.
Po wykonaniu skończonej liczby iteracji uzyskujemy optymalny plan dla problemu postawionego programowaniu liczb całkowitych lub dowodzimy nierozstrzygalności problemu.
