Leonard Euler (1707-1783) - famoso suíçoe um matemático russo, membro da Academia de Ciências de São Petersburgo, passou a maior parte de sua vida na Rússia. O mais famoso em análise matemática, estatística, ciência da computação e lógica é o círculo de Euler (diagrama de Euler-Venn), usado para denotar o escopo de conceitos e conjuntos de elementos.
John Venn (1834-1923) - filósofo e lógico inglês, co-autor do diagrama de Euler-Venn.
Um conceito em lógica significa uma formapensamento, refletindo as características essenciais de uma classe de objetos homogêneos. Eles são designados por uma ou um grupo de palavras: "mapa do mundo", "acorde da quinta dominante", "segunda-feira", etc.
No caso em que os elementos de volume de um conceitopertencem total ou parcialmente ao volume de outro, falam de conceitos compatíveis. Se nenhum elemento do volume de um determinado conceito pertence ao volume de outro, então temos um lugar com conceitos incompatíveis.
Por sua vez, cada tipo de conceito tem seu próprio conjunto de relações possíveis. Para conceitos compatíveis, são os seguintes:
Para incompatíveis:
Esquematicamente, a relação entre conceitos em lógica é geralmente denotada usando círculos de Euler-Venn.
Nesse caso, os conceitos significam o mesmo assunto. Conseqüentemente, os volumes desses conceitos coincidem completamente. Por exemplo:
A - Sigmund Freud;
B - o fundador da psicanálise.
Ou:
Um quadrado;
B - retângulo equilátero;
C - losango conformado.
Círculos de Euler totalmente correspondentes são usados para designação.
Esta categoria inclui conceitos que possuem elementos comuns em relação ao cruzamento. Ou seja, o escopo de um dos conceitos está parcialmente incluído no escopo do outro:
Um professor;
B é um amante da música.
Como você pode ver neste exemplo, o escopo dos conceitossobreposição: um determinado grupo de professores pode acabar sendo amantes da música e, vice-versa, pode haver representantes da profissão docente entre os amantes da música. Uma atitude semelhante será no caso quando, por exemplo, "morador da cidade" atua como conceito A e "motorista" como B.
Esquematicamente designado como diferente em escalaCírculos de Euler. A relação entre conceitos, neste caso, é caracterizada pelo fato de que o conceito subordinado (menor em volume) está totalmente incluído no subordinado (maior em volume). Ao mesmo tempo, o conceito de subordinado não esgota completamente o subordinado.
Por exemplo:
Uma árvore;
B - pinho.
O conceito B será subordinado ao conceito A. Uma vez que pinho se refere a árvores, o conceito A neste exemplo torna-se subordinado, "absorvendo" o escopo do conceito B.
Um relacionamento caracteriza dois ou mais conceitos que se excluem, mas ao mesmo tempo pertencem a um certo círculo familiar comum. Por exemplo:
A - clarinete;
B - violão;
С - violino;
D é um instrumento musical.
Os conceitos A, B, C não se sobrepõem entre si, porém, todos pertencem à categoria de instrumentos musicais (conceito D).
Relações opostas entre conceitosimplicam a atribuição desses conceitos ao mesmo gênero. Nesse caso, um dos conceitos possui certas propriedades (características), enquanto o outro as nega, substituindo-as pelo oposto. Portanto, estamos lidando com antônimos. Por exemplo:
Um anão;
B é um gigante.
Com a relação oposta entre os conceitos, o círculo de Euler é dividido em três segmentos, o primeiro dos quais corresponde ao conceito A, o segundo ao conceito B e o terceiro a todos os outros conceitos possíveis.
Neste caso, ambos os conceitos representamespécies do mesmo gênero. Como no exemplo anterior, um dos conceitos indica certas qualidades (signos), enquanto o outro as nega. No entanto, ao contrário da relação de oposição, o segundo conceito oposto não substitui as propriedades negadas por outras alternativas. Por exemplo:
A é uma tarefa difícil;
B é uma tarefa fácil (não-A).
Expressando o escopo de conceitos desse tipo, o círculo de Euleré dividido em duas partes - o terceiro elo intermediário, neste caso, não existe. Assim, conceitos também são antônimos. Neste caso, um deles (A) torna-se positivo (afirmando qualquer sinal), e o segundo (B ou não-A) - negativo (negando o sinal correspondente): "papel branco" - "papel não branco", "russo história "-" história estrangeira ", etc.
Assim, a proporção dos volumes dos conceitos em relação uns aos outros é a característica chave que define os círculos de Euler.
Você também deve distinguir entre os conceitos de elementos econjuntos, cujo volume é representado pelos círculos de Euler. O conceito de conjunto é emprestado da ciência matemática e tem um significado bastante amplo. Os exemplos de lógica e matemática mostram-no como uma espécie de coleção de objetos. Os próprios objetos são elementos desse conjunto. “Muitos são muitos, concebíveis como um” (Georg Cantor, fundador da teoria dos conjuntos).
Os conjuntos são designados por letras maiúsculasletras: A, B, C, D ... etc., elementos de conjuntos - minúsculas: a, b, c, d ... e outros. Os exemplos de um conjunto podem ser alunos em uma sala de aula, livros em uma determinada estante (ou, por exemplo, todos os livros de uma biblioteca específica), páginas de um diário, bagas em uma clareira na floresta, etc.
Por sua vez, se um determinado conjunto não énão contém elementos, então é chamado de vazio e denotado por Ø. Por exemplo, o conjunto de pontos de intersecção de linhas paralelas, o conjunto de soluções para a equação x2 = -5.
Para resolver um grande número de tarefas, ativamenteCírculos de Euler são usados. Os exemplos em lógica demonstram claramente a conexão entre as operações lógicas e a teoria dos conjuntos. Nesse caso, são utilizadas as tabelas verdade de conceitos. Por exemplo, o círculo designado pelo nome A representa a região da verdade. Portanto, a área fora do círculo representará uma mentira. Para determinar a área do diagrama para uma operação lógica, você deve sombrear as áreas que definem o círculo de Euler, no qual seus valores para os elementos A e B serão verdadeiros.
O uso de círculos de Euler tem encontrado amplaaplicação prática em diversos setores. Por exemplo, em uma situação com escolha profissional. Se o sujeito se preocupa com a escolha de uma futura profissão, ele pode se orientar pelos seguintes critérios:
W - o que eu gosto de fazer?
D - o que eu faço?
P - como posso ganhar um bom dinheiro?
Vamos representar isso na forma de um diagrama: Círculos de Euler (exemplos em lógica - a relação de interseção):
O resultado serão as profissões que estarão na interseção de todos os três círculos.
Os círculos de Euler-Venn ocupam um lugar especial namatemática (teoria dos conjuntos) ao calcular combinações e propriedades. Os círculos de Euler do conjunto de elementos são colocados em um retângulo que representa o conjunto universal (U). Em vez de círculos, outras formas fechadas também podem ser usadas, mas a essência não muda. As figuras se cruzam de acordo com as condições do problema (no caso mais geral). Além disso, esses números devem ser marcados em conformidade. Os pontos localizados dentro de diferentes segmentos do diagrama podem atuar como elementos dos conjuntos em consideração. Com base nisso, é possível sombrear áreas específicas, denotando os conjuntos recém-formados.
Com esses conjuntos, é possível executaroperações matemáticas básicas: adição (soma de conjuntos de elementos), subtração (diferença), multiplicação (produto). Além disso, graças aos diagramas de Euler-Venn, é possível realizar operações de comparação de conjuntos pelo número de elementos neles incluídos, sem contá-los.
