Como encontrar o determinante de uma matriz?

Encontrar o determinante de uma matriz é importanteação não apenas para álgebra linear: por exemplo, em economia, usando este cálculo, são resolvidos sistemas de equações lineares com muitas incógnitas, que são amplamente utilizados em problemas econômicos.

Conceito determinante

O determinante, ou determinante, da matrizchamado de valor igual ao volume de um paralelepípedo construído em seus vetores de linha ou colunas. Este valor pode ser calculado apenas para uma matriz quadrada, na qual o número de linhas e colunas é o mesmo. Se os membros da matriz são números, o determinante também é um número.

Cálculo de determinantes

Deve ser lembrado que existem várias regras que podem facilitar muito esses cálculos.

Portanto, o determinante de uma matriz que consiste em ummembro, é igual ao seu único elemento. Não é difícil calcular o determinante de segunda ordem, para tanto, basta subtrair o produto dos elementos localizados na diagonal secundária do produto dos membros da diagonal principal.

O cálculo do determinante de terceira ordem é mais facilmente realizado de acordo com a regra do triângulo. Para fazer isso, realizamos as seguintes ações:

1. Encontramos o produto de três membros da matriz localizados em sua principaldiagonais.
2. Multiplicamos por três termos localizados em triângulos, as bases dos quais são paralelas à diagonal principal.
3. Repetimos o primeiro e o segundo passos para a diagonal lateral.
4. Encontramos a soma de todos os valores obtidos nos cálculos anteriores, enquanto os números obtidos no terceiro parágrafo são tomados com um sinal de menos.

Para encontrar facilmente o determinante de uma matriz de ordem 4, bem como as dimensões superiores, é necessário considerar as propriedades que todos os determinantes possuem:

1. O valor determinante não muda após a transposição da matriz.
2. A troca de duas linhas ou colunas adjacentes leva a uma mudança no sinal do determinante.
3. Se a matriz tem duas linhas ou colunas iguais, ou todos os elementos da coluna (linhas) são zero, então seu determinante é zero.
4. Multiplicar os números de uma matriz por qualquer número leva a um aumento em seu determinante pelo mesmo número de vezes.

Usar as propriedades acima ajuda comfacilidade de encontrar o determinante de uma matriz de qualquer ordem. Por exemplo, usando para isso o método da ordem decrescente, em que o determinante é decomposto nos elementos da linha (coluna) multiplicados pelo complemento algébrico.

Outra maneira que simplifica muito encontrar o determinante

E, por fim, gostaria de observar que o cálculo dos determinantes, embora consista em cálculos matemáticos aparentemente simples, requer considerável cuidado e assiduidade.