Maclaurin série e decomposição de algumas funções

Alunos de alta matemática devem estar cientesque a soma de uma determinada série de potência pertencente ao intervalo de convergência da série que nos é dada é um número contínuo e ilimitado de vezes uma função diferenciada. Surge a pergunta: é possível afirmar que uma determinada função arbitrária f (x) é a soma de uma determinada série de potência? Isto é, sob quais condições a f-ia f (x) pode ser representada como uma série de potências? A importância dessa questão reside no fato de que é possível substituir aproximadamente ffcf (x) pela soma dos primeiros termos da série de potência, isto é, o polinômio. Tal substituição de uma função por uma expressão bastante simples - um polinômio - também é conveniente para resolver alguns problemas de análise matemática, a saber: ao resolver integrais, calcular equações diferenciais, etc.

Está provado que para alguns f-ii f (x), em que é possível calcular derivadas até (n + 1) -ésima ordem, incluindo a última, na vizinhança (α - R; x₀ + R) algum ponto x = α é uma fórmula válida:

Esta fórmula é nomeada após a famosa cientista Brooke Taylor. A série, obtida a partir do anterior, é chamada de série Maclaurin:

A regra, que torna possível produzir uma decomposição em uma série de Maclaurin:

1. Determine as derivadas do primeiro, segundo, terceiro ... pedidos.
2. Calcule quais são as derivadas iguais em x = 0.
3. Escreva a série Maclaurin para essa função e, em seguida, determine o intervalo de sua convergência.
4. Determine o intervalo (-R; R), onde a parte residual da fórmula de Maclaurin

R_{O senhor}(x) -> 0 para n -> infinito. Se houver, a função f (x) deve coincidir com a soma da série Maclaurin.

Consideramos agora a série Maclaurin para funções individuais.

1. Então, o primeiro será f (x) = e^x. Claro que, em termos de suas características, tal função tem derivados das mais diversas ordens, com f^k)(x) = e^comonde k é igual a todos os números naturais. Substitua x = 0. Obter f^k)(0) = e⁰= 1, k = 1,2 ... Com base no que precede, a linha e^x ficaria assim:

2. A série Maclaurin para a função f (x) = sin x. Esclarecer imediatamente que f-ia para todos os desconhecidos terá derivados, além de f^"(x) = cos x = sin (x + n / 2), f^""(x) = -sin x = sin (x + 2 * n / 2) ..., f^k)(x) = sin (x + k * n / 2), onde k é igual a qualquer número natural. Ou seja, tendo feito cálculos simples, podemos chegar à conclusão de que a série para f (x) = sen x será da seguinte forma:

3. Agora vamos tentar considerar f-yy f (x) = cos x. Para todos os desconhecidos tem derivados de ordem arbitrária, e | f^k)x) = | cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Novamente, após fazer certos cálculos, obtemos que a série para f (x) = cos x terá a seguinte aparência:

Então, listamos as funções mais importantes quepodem ser expandidos na série Maclaurin, mas são complementados pela série Taylor para algumas funções. Agora vamos listá-los. Também é importante notar que as séries de Taylor e Maclaurin são uma parte importante do workshop de resolução de séries em matemática superior. Então, Taylor classifica.

1. A primeira será a série para f-ii f (x) = ln (1 + x).Como nos exemplos anteriores, para o dado f (x) = ln (1 + x), podemos adicionar a série usando a forma geral da série Maclaurin. no entanto, a série Maclaurin pode ser obtida de maneira muito mais simples para esta função. Integrando uma certa série geométrica, obtemos uma série para f (x) = ln (1 + x) de uma amostra:

2. E o segundo, que será final em nosso artigo, será uma série para f (x) = arctg x. Para x pertencente ao intervalo [-1; 1], a decomposição é válida:

Isso é tudo. Este artigo examinou as séries de Taylor e Maclaurin mais utilizadas em matemática superior, em particular nas universidades econômicas e técnicas.