Euklidovský priestor: pojem, vlastnosti, znaky

Počas štúdia sa všetci študenti oboznámili s týmto konceptom„Euklidovská geometria“, ktorej hlavné ustanovenia sú zamerané okolo niekoľkých axiómov založených na takých geometrických prvkoch, ako je bod, rovina, priamka, pohyb. Všetky dohromady tvoria to, čo je už dlho známe pod pojmom „euklidovský priestor“.

Euklidovský priestor, ktorého definíciaje založený na polohe na skalárnom násobení vektorov, je zvláštnym prípadom lineárneho (afinného) priestoru, ktorý spĺňa množstvo požiadaviek. Po prvé, skalárny súčin vektorov je absolútne symetrický, to znamená, že vektor so súradnicami (x; y) je kvantitatívne totožný s vektorom so súradnicami (y; x), ale v opačnom smere.

Po druhé, v prípade, žebodový produkt vektora sám so sebou, potom bude výsledok tejto akcie pozitívny. Jedinou výnimkou bude prípad, keď sa počiatočná a konečná súradnica tohto vektora budú rovnať nule: v takom prípade bude jeho súčin so sebou rovný nule.

Po tretie, existuje distribúciaskalárny súčin, to znamená možnosť rozkladu jednej z jeho súradníc na súčet dvoch hodnôt, čo nebude mať za následok žiadne zmeny v konečnom výsledku skalárneho násobenia vektorov. Nakoniec, po štvrté, keď sa vektory vynásobia rovnakým skutočným číslom, ich bodový súčin sa tiež zvýši o rovnaké množstvo.

V prípade, že budú splnené všetky tieto štyri podmienky, môžeme s istotou povedať, že máme euklidovský priestor.

Z praktického hľadiska možno euklidovský priestor charakterizovať nasledujúcimi konkrétnymi príkladmi:

1. Najjednoduchším prípadom je prítomnosť množiny vektorov so skalárnym súčinom definovaným podľa základných zákonov geometrie.
2. Euklidovský priestor sa získa, aj keďak pod vektormi rozumieme určitú konečnú množinu reálnych čísel s daným vzorcom popisujúcim ich skalárny súčet alebo súčin.
3. Špeciálny prípad euklidovského priestoru by sa mal rozpoznávať ako takzvaný nulový priestor, ktorý sa získa, ak je skalárna dĺžka oboch vektorov rovná nule.

Euklidovský priestor má množstvošpecifické vlastnosti. Po prvé, skalárny faktor je možné z hranatých zátvoriek vybrať ako z prvého, tak aj z druhého faktora skalárneho súčinu, výsledok nebude podliehať žiadnym zmenám. Po druhé, spolu s distribúciou prvého prvku skalárneho súčinnosti pôsobí aj distribúcia druhého prvku. Okrem skalárneho súčtu vektorov sa navyše koná aj distribučnosť v prípade odčítania vektorov. Nakoniec, po tretie, so skalárnym násobením vektora nulou bude výsledok tiež nulový.

Euklidovský priestor teda jenajdôležitejší geometrický koncept používaný pri riešení problémov so vzájomným usporiadaním vektorov voči sebe navzájom, na charakterizáciu ktorých sa používa taký koncept ako bodový súčin.