Realnummer och deras egenskaper

Pythagoras hävdade att numret ligger vid basenvärlden tillsammans med huvudelementen. Platon trodde att tal förbinder fenomenet och noumenon och hjälpte till att erkänna, mäta och dra slutsatser. Aritmetik kommer från ordet "aritmos" - ett tal, början på början i matematik. Alla objekt kan beskrivas med det - från ett elementärt äpple till abstrakta utrymmen.

Behöver som en utvecklingsfaktor

I de första stadierna av bildandet av samhälletmänniskors behov begränsades av behovet av att hålla ett konto - en påse med säd, två påsar med säd, etc. För detta räckte naturliga antal, vars uppsättning är en oändlig positiv sekvens av heltal N.

Senare, med utvecklingen av matematik som vetenskap, uppstodbehovet av ett separat fält med heltal Z - det inkluderar negativa värden och noll. Dess utseende på hushållsnivå provocerades av det faktum att det i den primära redovisningen var nödvändigt att på något sätt fixa skulder och förluster. På vetenskaplig nivå gjorde negativa siffror det möjligt att lösa de enklaste linjära ekvationerna. Bland annat har det nu blivit möjligt att avbilda ett trivialt koordinatsystem, eftersom en referenspunkt har dykt upp.

Nästa steg var behovet av att ange bråkdelarantalet, eftersom vetenskapen inte stod stilla, krävde fler och fler nya upptäckter en teoretisk grund för en ny drivkraft för tillväxt. Så fältet med rationella siffror Q dök upp.

Slutligen upphörde rationaliteten att tillfredsställabegäran, eftersom alla nya slutsatser krävde underbyggnad. Fältet med verkliga siffror R uppträdde, Euclids verk om obestämbarhet av vissa kvantiteter på grund av deras irrationalitet. Det vill säga, de antika grekiska matematikerna placerade numret inte bara som en konstant, utan också som en abstrakt mängd, som kännetecknas av förhållandet mellan obetydliga mängder. På grund av det faktum att verkliga siffror uppträdde såg sådana mängder som "pi" och "e" "ljuset", utan vilken modern matematik inte kunde ha ägt rum.

Den sista innovationen var komplexet nummer C.Det besvarade ett antal frågor och motbevisade de tidigare införda postulaten. På grund av den snabba utvecklingen av algebra var resultatet förutsägbart - med riktiga siffror var det omöjligt att lösa många problem. Tack vare komplexa siffror stod till exempel sträng- och kaosteorier ut, och ekvationerna för hydrodynamik expanderade.

Uppsättningsteori. Kantor

Begreppet oändlighet alltid orsakaskontrovers, eftersom det varken kunde bevisas eller motbevisas. I matematikens sammanhang, som fungerade med strikt verifierade postulat, manifesterades detta tydligast, särskilt eftersom den teologiska aspekten fortfarande hade vikt i vetenskapen.

Men tack vare matematikern Georgs arbeteKantor, allt föll på plats över tiden. Han bevisade att det finns en oändlig uppsättning oändliga uppsättningar, och att fältet R är större än fältet N, även om de båda inte har något slut. I mitten av 1800-talet kallades hans idéer högljutt nonsens och ett brott mot de klassiska, orubbliga kanonerna, men tiden lade allt på sin plats.

Grundläggande egenskaper för R-fältet

Verkliga siffror har inte bara samma egenskaper som undersidorna som ingår i dem, utan kompletteras också av andra på grund av storleken på deras element:

• Noll finns och tillhör fältet R. c + 0 = c för alla c från R.
• Noll finns och tillhör fältet R. c x 0 = 0 för alla c från R.
• Relationen c: d för d ≠ 0 existerar och är giltig för alla c, d från R.
• Fältet R är ordnat, det vill säga om c ≤ d, d ≤ c, då c = d för någon c, d från R.
• Tillägg i fältet R är kommutativt, det vill säga c + d = d + c för alla c, d från R.
• Multiplikation i fältet R är kommutativ, det vill säga c x d = d x c för alla c, d från R.
• Tillägg i fältet R är associerande, det vill säga (c + d) + f = c + (d + f) för alla c, d, f från R.
• Multiplikation i fältet R är associerande, det vill säga (c x d) x f = c x (d x f) för alla c, d, f från R.
• För varje tal från fältet R finns det en motsats till det, så att c + (-c) = 0, där c, -c från R.
• För varje tal från fältet R finns det en invers till den, så att c x c^-1 = 1, där c, c^-1 från R.
• Enheten finns och tillhör R, så c x 1 = c, för alla c från R.
• Distributionslagen är giltig, så att c x (d + f) = c x d + c x f, för alla c, d, f från R.
• I R-fältet är noll inte lika med en.
• Fältet R är övergående: om c ≤ d, d ≤ f, då c ≤ f för någon c, d, f från R.
• I fältet R är ordningen och additionen inbördes relaterade: om c ≤ d, då c + f ≤ d + f för någon c, d, f från R.
• I fältet R är ordningen och multiplikationen inbördes relaterade: om 0 ≤ c, 0 ≤ d, då 0 ≤ c х d för varje c, d från R.
• Både negativa och positiva reella tal är kontinuerliga, det vill säga för alla c, d från R, det finns en f från R så att c ≤ f ≤ d.

Modul i R-fält

Verkliga siffror inkluderar konceptet för en modul.

Komplexa och reella tal. Vad är det vanliga och vad är skillnaderna?

I stort sett komplex, giltigsiffrorna är en och samma, förutom att den första förenas av en imaginär enhet i vars kvadrat är -1. Elementen i R- och C-fälten kan representeras som följande formel:

• c = d + f x i, där d, f tillhör fältet R, och i är en imaginär enhet.

För att få c från R i detta fall f baraanses lika med noll, det vill säga endast den verkliga delen av numret kvarstår. På grund av det faktum att fältet med komplexa tal har samma uppsättning egenskaper som fältet med verkliga, är f x i = 0 om f = 0.

När det gäller praktiska skillnader, till exempel ifältet R löser inte den kvadratiska ekvationen om diskriminanten är negativ, medan fältet C inte inför någon liknande begränsning på grund av införandet av den imaginära enheten i.

resultat

"Tegelstenar" av axiomer och postulat på vilkamatematik är baserad, förändras inte. På vissa av dem läggs följande "tegelstenar" i samband med ökningen av information och införandet av nya teorier, som i framtiden kan bli grunden för nästa steg. Till exempel förlorar inte naturliga siffror deras relevans, trots att de är en delmängd av det verkliga fältet R. Det är på dem som all elementär aritmetik baseras, med vilken en persons kännedom om världen börjar.

Ur praktisk synvinkel, verkliga siffrorser ut som en rak linje. På den kan du välja riktning, ange ursprung och steg. Den raka linjen består av ett oändligt antal punkter, som var och en motsvarar ett enda reellt tal, oavsett om det är rationellt eller inte. Av beskrivningen är det tydligt att vi talar om ett koncept som både matematik i allmänhet och matematisk analys i synnerhet bygger på.