В алгебрі існує поняття двох видів рівності- тотожності і рівняння. Тотожності - це такі рівності, які можна виконати за будь-яких значеннях букв, в них входять. Рівняння - це теж рівності, але здійснимі вони лише при деяких значеннях вхідних в них літер.
За кількістю невідомих виділяють рівняння зодним, двома і декількома невідомими. Таким чином, всі значення невідомих, при яких вона вирішується рівняння перетворюється в тотожність, називаються рішеннями рівнянь. Рівняння можна вважати вирішеним в тому випадку, якщо знайдені всі його рішення або доведено, що воно таких не має. Завдання «вирішити рівняння» на практиці зустрічається часто і означає, що потрібно відшукати корінь рівняння.
визначення: Корінням рівняння називаються ті значення невідомих з області допустимих, при яких вона вирішується рівняння перетворюється в тотожність.
Алгоритм рішення абсолютно всіх рівнянь однаковий, і сенс його полягає в тому, щоб за допомогою математичних перетворень цей вислів привести до простішого вигляду.
Рівняння, які мають однакові корені, в алгебрі називаються рівносильними.
Найпростіший приклад: 7х-49 = 0, корінь рівняння х = 7;
х-7 = 0, аналогічно, корінь х = 7, отже, рівняння рівносильні. (В окремих випадках рівносильні рівняння можуть зовсім не мати коренів).
Якщо корінь рівняння одночасно є коренем іншого, більш простого рівняння, отриманого з вихідного шляхом перетворень, то останнім називається наслідком попереднього рівняння.
Якщо їх двох рівнянь одне є наслідком іншого, то вони вважаються рівносильними. Ще їх називають еквівалентними. Наведений вище приклад це ілюструє.
Рішення навіть найпростіших рівнянь на практицінерідко викликає складності. В результаті рішення можна отримати один корінь рівняння, два і більше, навіть нескінченну кількість - залежить це від виду рівнянь. Є й такі, у яких немає коренів, вони називаються нерозв'язними.
приклади:
1) 15х -20 = 10; х = 2. Це єдиний корінь рівняння.
2) 7х - y = 0. Рівняння має безліч коренів, так як у кожної змінної може бути незліченна кількість значень.
3) х2= - 16. Число, зведена в другу ступінь, завжди дає позитивний результат, тому неможливо відшукати корінь рівняння. Це і є одна з нерозв'язних рівнянь, про які говорилося вище.
Правильність рішення перевіряється підстановкою знайдених коренів замість букв і рішенням отриманого прикладу. Якщо тотожність дотримується, рішення вірне.
