Задачи, които водят до концепцията за "двоен интеграл".
- Нека бъде дадена плоскост материал материалплоча, в която е известна плътността на точката. Трябва да намерите масата на тази плоча. Тъй като тази плоча има ясни размери, тя може да бъде затворена в правоъгълник. Плътността на плочата също може да бъде разбрана по следния начин: в онези точки на правоъгълника, които не принадлежат на плочата, приемаме, че плътността е нула. Определяме еднакъв дял на същия брой частици. Така дадената фигура ще бъде разделена на елементарни правоъгълници. Помислете за един от тези правоъгълници. Изберете всяка точка на този правоъгълник. Поради малкия размер на такъв правоъгълник приемаме, че плътността във всяка точка на този правоъгълник е постоянна стойност. Тогава масата на такава правоъгълна частица ще бъде определена като умножаване на плътността в тази точка по площта на правоъгълника. Площа, както знаете, е умножението на дължината на правоъгълника по ширината. А на координатната равнина - това е промяна в някои стъпки. Тогава масата на цялата плоча ще бъде сумата от масите на такива правоъгълници. Ако в това съотношение преминем към границата, тогава можем да получим точното съотношение.
- Определяме пространствено тяло, което е ограниченопроизход и някаква функция. Необходимо е да се намери обемът на посоченото тяло. Както в предишния случай, разделяме региона на правоъгълници. Предполагаме, че в точки, които не принадлежат към региона, функцията ще бъде 0. Помислете за един от правоъгълните дялове. Чрез страните на този правоъгълник рисуваме равнини, перпендикулярни на осите на абсцисите и ординатите. Получаваме поле, което е ограничено по-долу от равнина по отношение на приложната ос и по-горе от функцията, която е била посочена в заданието на проблема. Изберете точка в средата на правоъгълника. Поради малкия размер на този правоъгълник можем да приемем, че функцията в този правоъгълник има постоянна стойност, тогава обемът на правоъгълника може да бъде изчислен. И обемът на фигурата ще бъде равен на сумите от всички обеми от такива правоъгълници. За да получите точната стойност, трябва да отидете до границата.
Както се вижда от посочените задачи, във всеки пример заключаваме, че различните задачи водят до разглеждане на двойни суми от един и същи вид.
Свойства на двойния интеграл.
Ние поставяме проблема.Нека функция от две променливи се даде в някакъв затворен домейн и дадената функция е непрекъсната. Тъй като регионът е ограничен, можете да го поставите във всеки правоъгълник, който напълно съдържа свойствата на точката на дадения регион. Разделете правоъгълника на равни части. Наричаме диаметъра на прекъсването най-големият диагонал на получените правоъгълници. Сега избираме точка в границите на един такъв правоъгълник. Ако намерите стойността в този момент, добавете сумата, тогава такава сума ще бъде наречена интеграл за функцията в дадената област. Откриваме границата на такава интегрална сума при условията, че диаметърът на разкъса следва 0 и броят на правоъгълниците до безкрайността. Ако такава граница съществува и не зависи от метода на разделяне на региона на правоъгълници и от избора на точка, тогава той се нарича двоен интеграл.
Геометричното съдържание на двойния интеграл: двойният интеграл е числено равен на обема на тялото, описан в задача 2.
Познавайки двойния интеграл (дефиниция), можете да зададете следните свойства:
- Константата може да бъде извадена от знака на интеграла.
- Интегралът на сумата (разлика) е равен на сумата (разликата) на интегралите.
- От функциите по-малко ще има тази, чийто двоен интеграл е по-малък.
- Модулът може да бъде въведен под двойния интегрален знак.
