Метод простой итерации, называемый также методом postupná aproximace je matematický algoritmus pro zjištění hodnoty neznámého množství jeho postupným zjemňováním. Podstata této metody spočívá v tom, že jak již název napovídá, postupné vyjadřování dalších z počáteční aproximace, získávají více a více rafinovaných výsledků. Tato metoda se používá k nalezení hodnoty proměnné v dané funkci, stejně jako při řešení soustav rovnic, lineárních i nelineárních.
Zvažte, jak je tato metoda implementována při řešení SLAE. Jednoduchá iterační metoda má následující algoritmus:
1.Kontrola stavu konvergence v původní matici. Konvergence věta: jestliže počáteční matice systému má diagonální převahu (to je, v každém řádku elementy hlavní diagonály musí být větší v absolutní než součet elementů sekundárních úhlopříček v absolutní hodnotě), pak metoda jednoduchých iterací je konvergentní.
2Matice původního systému nemá vždy diagonální převahu. V takových případech lze systém převést. Rovnice, které splňují podmínku konvergence, zůstávají nedotčeny a lineární kombinace jsou neuspokojivé, tzn. násobit, odčítat, přidávat rovnice mezi sebe získat požadovaný výsledek.
Pokud ve výsledném systému na hlavní diagonále jsou nepříjemné koeficienty, pak na obě strany takovéto rovnice přidejte termíny sa* sa jejichž znaky se musí shodovat se znaky diagonálních prvků.
3. Převedení výsledného systému na normální zobrazení:
s-= β-+ α * x-
To lze provést mnoha způsoby, například následujícím způsobem: z první rovnice vyjádřit x1 skrze jiné neznámé, od druhé2, od třetího3 atd. V tomto případě používáme vzorce:
aji= - (aji / aii)
a= ba/ aa
Znovu by mělo být ověřeno, že výsledný systém normálního typu splňuje podmínku konvergence:
∑ (j = 1) | aji| ≤ 1, s i = 1,2, ... n
4. Začínáme vlastně používat metodu postupných sbližování.
s(0)- počáteční aproximace, vyjádříme prostřednictvím ní x(1), poté přes x(1) vyjádřit x(2). Obecný vzorec ve formě matice vypadá takto:
s(n)= β-+ α * x(n-1)
Počítáme, dokud nedosáhneme požadované přesnosti:
max | xa(k) -xa(k + 1) ≤ ε
Pojďme se tedy podívat na jednoduchou iterační metodu v praxi. Příklad:
ŘEŠENÍ SLAU:
4,5x1-1,7x2 + 3,5x3 = 2
3,1x1 + 2,3x2-1,1x3 = 1
1,8 x 1 + 2,5 x 2 + 4,7 x 3 = 4 s přesností ε = 10-3
Uvidíme, jestli diagonální prvky převládají modulo.
Vidíme, že pouze třetí rovnice splňuje podmínku konvergence. Transformujeme první a druhou, přidáme druhou k první rovnici:
7,6 x 1 + 0,6 x 2 + 2,4 x 3 = 3
Odečtěte první od třetí:
-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2
Původní systém jsme transformovali na ekvivalentní:
7,6 x 1 + 0,6 x 2 + 2,4 x 3 = 3
-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2
1,8 x 1 + 2,5 x 2 + 4,7 x 3 = 4
Nyní uvedeme systém do jeho normální podoby:
x1 = 0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2 = 0,466 + 0,6429x1-0,2887x3
x3 = 0,8511-0,383x1-0,5319x2
Zkontrolujte konvergenci iteračního procesu:
0,0789 + 0,3158 = 0,3947 <1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 <1
0,383 + 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, tj. podmínka je splněna.
0,3947
X počáteční aproximace(0) = 0,476
0,8511
Tyto hodnoty nahrazujeme rovnicí normálního tvaru, získáme následující hodnoty:
0,08835
s(1)= 0,486793
0,446639
Nahrazujeme nové hodnoty, dostaneme:
0,215243
s(2)= 0,405396
0,558336
Ve výpočtu pokračujeme, dokud se nedostaneme blíže k hodnotám splňujícím danou podmínku.
0,18813
s(7)= 0,441091
0,544319
0,188002
s(8) = 0,44164
0,544428
Zkontrolujte správnost výsledků:
4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2 0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1,1 x * 0,544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977
Výsledky získané nahrazením nalezených hodnot v původních rovnicích zcela splňují podmínky rovnice.
Jak vidíme, jednoduchá iterační metoda poskytuje poměrně přesné výsledky, ale k vyřešení této rovnice jsme museli strávit spoustu času a dělat složité výpočty.
