I algebra er der begrebet to typer af ligeværdier.- identiteter og ligninger Identiteter er sådanne ligeværdier, som er mulige for eventuelle værdier af de breve, hvori de er medtaget. Ligninger er ligeværdier, men de kan kun eksekveres for bestemte værdier af bogstaverne i dem.
Ved antallet af ukendte er der ligninger meden, to og flere ukendte. Således bliver alle værdier af de ukendte, for hvilke ligningen bliver løst, til en identitet kaldet løsninger af ligninger. En ligning kan betragtes som løst, hvis alle dens løsninger findes, eller det er bevist, at det ikke gør det. Opgaven "at løse ligningen" i praksis er almindelig og betyder at du skal finde roden til ligningen.
definition: ligningens rødder er de værdier af de ukendte fra den tilladelige region, hvor den opløste ligning bliver til en identitet.
Algoritmen til løsning af absolut alle ligninger er den samme, og dens betydning er at bringe dette udtryk til en enklere form ved hjælp af matematiske transformationer.
Ligninger, der har de samme rødder kaldes ækvivalente i algebra.
Det enkleste eksempel: 7x-49 = 0, ligningens rod er x = 7;
x-7 = 0, ligeledes er roden x = 7, derfor er ligningerne ækvivalente. (I særlige tilfælde kan tilsvarende ligninger slet ikke have rødder).
Hvis roden til ligningen samtidig er roden til en anden, enklere ligning opnået fra originalen ved transformationer, kaldes sidstnævnte en konsekvens af den tidligere ligning.
Hvis en af deres to ligninger er en konsekvens af den anden, betragtes de som ækvivalente. De kaldes også ækvivalente. Eksemplet ovenfor illustrerer dette.
Løsning af selv de enkleste ligninger i praksisofte medfører vanskeligheder. Som et resultat af løsningen kan du få en rod af ligningen, to eller flere, endda et uendeligt antal - det afhænger af ligningstypen. Der er også dem, der ikke har rødder, de kaldes uopløselige.
eksempler:
1) 15x -20 = 10; x = 2. Dette er den eneste rod i ligningen.
2) 7x - y = 0. Ligningen har et uendeligt antal rødder, da hver variabel kan have et uendeligt antal værdier.
3) x2= - 16. Et tal hævet til anden magt giver altid et positivt resultat, så det er umuligt at finde roden til ligningen. Dette er en af de ubeslutsomme ligninger, der er nævnt ovenfor.
Opløsningens rigtighed kontrolleres ved at erstatte de fundne rødder i stedet for bogstaver og løse det resulterende eksempel. Hvis identiteten er sand, er beslutningen korrekt.
