Gleichseitiges Dreieck: Eigenschaften, Zeichen, Fläche, Umfang

В школьном курсе геометрии огромное количество Die Zeit ist dem Studium der Dreiecke gewidmet. Die Schüler berechnen Winkel, bauen Bisektoren und Höhen auf, finden heraus, wie sich die Figuren voneinander unterscheiden, und finden auf einfachste Weise ihre Fläche und ihren Umfang. Es scheint, dass dies im Leben nicht nützlich ist, aber manchmal ist es immer noch nützlich, herauszufinden, wie man beispielsweise bestimmt, ob ein Dreieck gleichseitig oder stumpf ist. Wie mache ich das?

Arten von Dreiecken

Drei Punkte, die nicht auf einer geraden Linie liegen, undSegmente, die sie verbinden. Diese Zahl scheint die einfachste zu sein. Was können Dreiecke sein, wenn sie nur drei Seiten haben? Tatsächlich gibt es eine ganze Reihe von Optionen, von denen einige im Rahmen des Schulgeometrie-Kurses besondere Aufmerksamkeit erhalten. Ein regelmäßiges Dreieck ist gleichseitig, dh alle Winkel und Seiten sind gleich. Es hat eine Reihe bemerkenswerter Eigenschaften, auf die später noch eingegangen wird.

У равнобедренного равны только две стороны, и он auch ganz interessant. Wie man leicht erraten kann, ist bei rechtwinkligen und stumpfen Dreiecken einer der Winkel gerade oder stumpf. Sie können jedoch auch gleichschenklig sein.

Es gibt auch eine spezielle Art von DreieckÄgyptisch. Seine Seiten sind gleich 3, 4 und 5 Einheiten. Darüber hinaus ist es rechteckig. Es wird angenommen, dass ein solches Dreieck von ägyptischen Vermessungsingenieuren und Architekten aktiv genutzt wurde, um rechte Winkel zu bauen. Es wird vermutet, dass mit seiner Hilfe die berühmten Pyramiden errichtet wurden.

Trotzdem können alle Eckpunkte des Dreiecks liegenauf einer geraden Linie. In diesem Fall heißt es entartet, während der Rest - nicht entartet. Sie sind eines der Themen des Studiums der Geometrie.

Gleichseitiges Dreieck

Natürlich rufen immer die richtigen Zahlen hervordas meiste Interesse. Sie wirken perfekter und eleganter. Formeln zur Berechnung ihrer Eigenschaften sind oft einfacher und kürzer als bei gewöhnlichen Zahlen. Dies gilt auch für Dreiecke. Es ist nicht verwunderlich, dass ihnen beim Studium der Geometrie viel Aufmerksamkeit geschenkt wird: Schulkinder lernen, die richtigen Figuren von den anderen zu unterscheiden, und sprechen auch über einige ihrer interessanten Eigenschaften.

Zeichen und Eigenschaften

Wie der Name schon sagt, jederDie Seite eines gleichseitigen Dreiecks ist gleich den beiden anderen. Außerdem hat er eine Reihe von Zeichen, anhand derer Sie feststellen können, ob die Zahl korrekt ist oder nicht.

• Alle Winkel sind gleich, ihre Größe beträgt 60 Grad;
• Bisektoren, Höhen und Mediane, die von jedem Scheitelpunkt gezogen werden, fallen zusammen;
• Ein reguläres Dreieck hat drei Symmetrieachsen und ändert sich nicht, wenn es um 120 Grad gedreht wird.
• Das Zentrum des Beschriftungskreises ist auch das Zentrum des Umschreibungskreises und der Schnittpunkt der Mediane, Bisektoren, Höhen und Medianen.

Wenn mindestens eines der oben genannten Anzeichen beobachtet wird, ist das Dreieck gleichseitig. Für die korrekte Abbildung gelten alle obigen Aussagen.

Все треугольники обладают рядом примечательных Eigenschaften. Erstens ist die Mittellinie, dh ein Segment, das zwei Seiten halbiert und parallel zur dritten Seite verläuft, gleich der Hälfte der Basis. Zweitens ist die Summe aller Ecken dieser Figur immer gleich 180 Grad. Zusätzlich wird eine weitere interessante Beziehung in den Dreiecken beobachtet. An der größeren Seite liegt also ein größerer Winkel und umgekehrt. Aber das hat natürlich nichts mit einem gleichseitigen Dreieck zu tun, weil alle Winkel gleich sind.

Eingeschriebene und eingekreiste Kreise

Oft studieren die Schüler auch Geometrie.wie Formen miteinander interagieren können. Insbesondere werden Kreise untersucht, die in Polygone eingeschrieben oder umschrieben sind. Wovon redest du

Ein Inkreis ist ein solcher Kreis, für denAlle Seiten des Polygons sind tangential. Beschrieben - eine, die Berührungspunkte mit allen Winkeln hat. Für jedes Dreieck können Sie immer sowohl den ersten als auch den zweiten Kreis bilden, jedoch jeweils nur einen. Beweis für diese beiden

Einige Aufgaben umfassen neben der Berechnung der Parameter der Dreiecke selbst auch die Berechnung der Radien dieser Kreise. Und die Formeln galten für
Ein gleichseitiges Dreieck ist wie folgt:

r = a / √ ̅3;

R = a / 2√ ̅3;

Dabei ist r der Radius des eingeschriebenen Kreises, R der Radius des eingeschriebenen Kreises und a die Länge der Seite des Dreiecks.

Berechnung von Höhe, Umfang und Fläche

Die Hauptparameter, deren BerechnungSchulkinder beschäftigen sich mit Geometriestudien, bleiben für fast jede Figur unverändert. Dies ist der Umfang, die Fläche und die Höhe. Zur Vereinfachung der Berechnung gibt es verschiedene Formeln.

P = 3a = 3√ ̅3R = 6√ ̅3r, wobei a die Seite des regulären Dreiecks ist, R der Radius des umschriebenen Kreises ist und r der eingeschriebene ist.

Höhe:

h = (√ ̅3 / 2) * a, wobei a die Länge der Seite ist.

Schließlich leitet sich die Flächenformel eines gleichseitigen Dreiecks aus der Norm ab, dh dem Produkt aus der Hälfte der Basis und ihrer Höhe.

S = (√ ̅ 3/4) * a²wo a ist die Länge der Seite.

Dieser Wert kann auch über die Parameter der umschriebenen oder eingeschriebenen Kreise berechnet werden. Hierfür gibt es auch spezielle Formeln:

S = 3 √ ̅ 3r² = (3√ ̅ 3/4) * R²wobei r und R die Radien der beschrifteten bzw. umschriebenen Kreise sind.

Gebäude

Eine andere interessante Art von Problem, einschließlich Dreiecken, hängt mit der Notwendigkeit zusammen, eine bestimmte Figur unter Verwendung einer minimalen Menge zu zeichnen

Um ein reguläres Dreieck nur mit diesen Geräten zu erstellen, müssen Sie mehrere Schritte ausführen.

1. Es ist notwendig, einen Kreis mit einem beliebigen Radius und mit der Mitte an einem beliebigen Punkt A zu zeichnen. Dies muss beachtet werden.
2. Als nächstes müssen Sie eine gerade Linie durch diesen Punkt ziehen.
3. Der Schnittpunkt eines Kreises und einer Geraden muss mit B und C bezeichnet werden. Alle Konstruktionen sollten mit größtmöglicher Genauigkeit ausgeführt werden.
4. Als nächstes müssen wir einen weiteren Kreis mit demselben Radius und Mittelpunkt am Punkt C oder einen Bogen mit den entsprechenden Parametern erstellen. Die Kreuzung wird durch D und F angezeigt.
5. Die Punkte B, F, D müssen durch Segmente verbunden werden. Es entsteht ein gleichseitiges Dreieck.

Das Lösen solcher Probleme stellt normalerweise ein Problem für die Schüler dar, aber diese Fähigkeit kann im täglichen Leben nützlich sein.