Eigenschaften und Methoden zum Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Die Welt ist so angelegt, dass eine Vielzahl von Entscheidungen getroffen werdenAufgaben werden darauf reduziert, die Wurzeln der quadratischen Gleichung zu finden. Die Wurzeln der Gleichungen sind wichtig für die Beschreibung verschiedener Muster. Dies war den Vermessern des alten Babylon bekannt. Auch Astronomen und Ingenieure waren gezwungen, solche Probleme zu lösen. Bereits im 6. Jahrhundert nach Christus entwickelte der indische Wissenschaftler Ariabhata die Grundlagen, um die Wurzeln der quadratischen Gleichung zu finden. Die Formeln wurden im 19. Jahrhundert fertiggestellt.

Allgemeine Konzepte

Wir empfehlen Ihnen, sich mit den Grundgesetzen der quadratischen Gleichheit vertraut zu machen. Im Allgemeinen kann Gleichheit wie folgt geschrieben werden:

ah² + bx + c = 0,

Die Anzahl der Wurzeln der quadratischen Gleichung kann gleich eins oder zwei sein. Eine schnelle Analyse kann mit dem Konzept der Diskriminanten durchgeführt werden:

D = b² - 4ac

Abhängig vom berechneten Wert erhalten wir:

• Für D> 0 gibt es zwei verschiedene Wurzeln. Die allgemeine Formel zur Bestimmung der Wurzeln der quadratischen Gleichung sieht aus wie (-b ± √D) / (2a).
• D = 0, in diesem Fall ist die Wurzel eins und entspricht dem Wert x = -b / (2a)
• D <0, für einen negativen Wert der Diskriminante gibt es keine Lösung der Gleichung.

Hinweis: Wenn die Diskriminante negativ ist, hat die Gleichung nur im Bereich der reellen Zahlen keine Wurzeln. Wenn die Algebra auf das Konzept der komplexen Wurzeln erweitert wird, hat die Gleichung eine Lösung.

Wir geben eine Kette von Aktionen an, die die Formel zum Finden der Wurzeln bestätigen.

Aus der allgemeinen Form der Gleichung folgt:

ah² + bx = -c

Wir multiplizieren die rechte und linke Seite mit 4a und addieren b²wir bekommen

cha²mit dem² + 4abx + b² = -4ac + b²

Wir transformieren die linke Seite in Form eines Quadrats eines Polynoms (2ax + b)². Wir extrahieren die Quadratwurzel von beiden Seiten der Gleichung 2ax + b = -b ± √ (-4ac + b²) übertragen wir den Koeffizienten b auf die rechte Seite, so erhalten wir:

2ax = -b ± √ (-4ac + b²)

Es folgt:

x = (-b ± √ (b² - 4ac))

Welches war erforderlich, um zu zeigen.

Sonderfall

In einigen Fällen kann die Lösung des Problems vereinfacht werden. Mit einem geraden Koeffizienten b erhalten wir also eine einfachere Formel.

Bezeichne k = 1 / 2b, dann hat die allgemeine Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung die Form:

x = (-k ± √ (k² - ac)) / a

Für D = 0 erhalten wir x = -k / a

Ein weiterer besonderer Fall ist die Lösung der Gleichung für a = 1.

Für Ansicht x² + bx + c = 0 die Wurzeln sind x = -k ± √ (k² - c) Wenn die Diskriminante größer als 0 ist. Für den Fall, dass D = 0 ist, wird die Wurzel durch eine einfache Formel bestimmt: x = -k.

Verwenden von Diagrammen

Jeder Mensch ist, ohne es überhaupt zu ahnen, ständig mit physikalischen, chemischen, biologischen und sogar sozialen Phänomenen konfrontiert, die durch eine quadratische Funktion gut beschrieben werden.

Hinweis: Eine Kurve, die auf der Basis einer quadratischen Funktion konstruiert wurde, wird als Parabel bezeichnet.

Hier sind einige Beispiele.

1. Bei der Berechnung der Flugbahn des Geschosses wird die Eigenschaft der Bewegung entlang der Parabel eines in einem Winkel zum Horizont freigegebenen Körpers herangezogen.
2. Die Eigenschaft von Parabeln, die Last gleichmäßig zu verteilen, ist in der Architektur weit verbreitet.

Wenn wir die Bedeutung einer Parabelfunktion verstehen, werden wir herausfinden, wie man ihre Eigenschaften mithilfe eines Graphen unter Verwendung der Konzepte "Diskriminante" und "Wurzeln einer quadratischen Gleichung" untersucht.

Abhängig von der Größe der Koeffizienten a und b gibt es nur sechs Optionen für die Position der Kurve:

1. Die Diskriminante ist positiv, a und b haben unterschiedliche Vorzeichen. Die Zweige der Parabel schauen nach oben, die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen.
2. Die Diskriminante und der Koeffizient b sind gleich Null, der Koeffizient a ist größer als Null. Der Graph befindet sich in der positiven Zone, die Gleichung hat 1 Wurzel.
3. Die Diskriminante und alle Koeffizienten haben positive Werte. Die quadratische Gleichung hat keine Lösung.
4. Die Diskriminante und der Koeffizient a sind negativ, b ist größer als Null. Die Zweige des Graphen sind nach unten gerichtet, die Gleichung hat zwei Wurzeln.
5. Die Diskriminante und der Koeffizient b sind gleich Null, der Koeffizient a ist negativ. Parabel schaut nach unten, die Gleichung hat eine Wurzel.
6. Die Werte der Diskriminante und aller Koeffizienten sind negativ. Es gibt keine Lösungen, der Wert der Funktion liegt komplett im negativen Bereich.

Hinweis: Die Variante a = 0 wird nicht berücksichtigt, da in diesem Fall die Parabel in eine Gerade ausartet.

All dies wird in der folgenden Abbildung gut veranschaulicht.

Beispiele zur Problemlösung

Bedingung: Erstellen Sie unter Verwendung gemeinsamer Eigenschaften eine quadratische Gleichung, deren Wurzeln gleich sind.

Lösung:

durch den Zustand des Problems x₁ = x₂, oder -b + √ (b² - 4ac) / (2a) = -b + √ (b² - 4ac) / (2a). Vereinfachen Sie die Eingabe:

-b + √ (b² - 4ac) / (2a) - (-b - √ (b² - 4ac) / (2a)) = 0, öffne die Klammern und gib ähnliche Begriffe an. Die Gleichung hat die Form 2√ (b² - 4ac) = 0. Diese Aussage ist wahr, wenn b² - 4ac = 0, daher b² = 4ac, dann wird der Wert b = 2√ (ac) in die Gleichung eingesetzt

ah² + 2√ (ac) x + c = 0, in der reduzierten Form erhalten wir x² + 2√ (c / a) x + c = 0.

Antwort:

Für a ungleich 0 und jedes c gibt es nur eine Lösung, wenn b = 2√ (c / a) ist.

Quadratische Gleichungen bei aller Einfachheitsind für technische Berechnungen von großer Bedeutung. Mit Potenzfunktionen der Ordnung n kann nahezu jeder physikalische Vorgang näherungsweise beschrieben werden. Die quadratische Gleichung wird die erste derartige Annäherung sein.