Ευκλείδειος χώρος: έννοια, ιδιότητες, σημάδια

Ενώ ακόμα στο σχολείο, όλοι οι μαθητές εξοικειώνονται με την ιδέα"Ευκλείδεια γεωμετρία", οι κύριες διατάξεις των οποίων επικεντρώνονται σε διάφορα αξιώματα με βάση τέτοια γεωμετρικά στοιχεία όπως ένα σημείο, επίπεδο, γραμμή, κίνηση. Όλοι μαζί σχηματίζουν αυτό που ήταν από καιρό γνωστό με τον όρο "Ευκλείδειος χώρος".

Ευκλείδειος χώρος, ο ορισμός του οποίουβασίζεται στη θέση στον κλιματικό πολλαπλασιασμό διανυσμάτων, είναι μια ειδική περίπτωση γραμμικού (στενού) χώρου που ικανοποιεί μια σειρά απαιτήσεων. Πρώτον, το κλιματικό προϊόν των διανυσμάτων είναι απολύτως συμμετρικό, δηλαδή, ένας φορέας με συντεταγμένες (x; y) είναι ποσοτικά πανομοιότυπος με έναν φορέα με συντεταγμένες (y; x), αλλά αντίθετα προς την κατεύθυνση.

Δεύτερον, σε περίπτωση πουdot προϊόν ενός διανύσματος με τον εαυτό του, τότε το αποτέλεσμα αυτής της δράσης θα είναι θετικό. Η μόνη εξαίρεση θα ισχύει όταν οι αρχικές και τελικές συντεταγμένες αυτού του διανύσματος είναι ίσες με μηδέν: σε αυτήν την περίπτωση, το προϊόν του από μόνο του θα είναι επίσης μηδέν.

Τρίτον, υπάρχει κατανομήκλιματικό προϊόν, δηλαδή τη δυνατότητα αποσύνθεσης μιας από τις συντεταγμένες του στο άθροισμα δύο τιμών, το οποίο δεν θα συνεπάγεται αλλαγές στο τελικό αποτέλεσμα του κλιματικού πολλαπλασιασμού διανυσμάτων. Τέλος, τέταρτον, όταν τα διανύσματα πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο πραγματικό αριθμό, το κλιμακωτό προϊόν τους θα αυξηθεί επίσης κατά την ίδια ποσότητα.

Σε περίπτωση που πληρούνται και οι τέσσερις αυτές προϋποθέσεις, μπορούμε να πούμε με σιγουριά ότι έχουμε χώρο Ευκλείδειας.

Από πρακτική άποψη, ο ευκλείδειος χώρος μπορεί να χαρακτηριστεί από τα ακόλουθα συγκεκριμένα παραδείγματα:

1. Η απλούστερη περίπτωση είναι η παρουσία ενός συνόλου διανυσμάτων με ένα βαθμωτό προϊόν που ορίζεται σύμφωνα με τους βασικούς νόμους της γεωμετρίας.
2. Ο ευκλείδειος χώρος θα αποκτηθεί ακόμη και αναν από διανύσματα εννοούμε ένα συγκεκριμένο πεπερασμένο σύνολο πραγματικών αριθμών με έναν δεδομένο τύπο που περιγράφει το κλιμακωτό άθροισμα ή το προϊόν τους.
3. Μια ειδική περίπτωση του ευκλείδιου χώρου πρέπει να αναγνωριστεί ως ο λεγόμενος μηδενικός χώρος, ο οποίος επιτυγχάνεται εάν το κλιμακωτό μήκος και των δύο διανυσμάτων είναι ίσο με μηδέν.

Ο ευκλείδειος χώρος έχει έναν αριθμόσυγκεκριμένες ιδιότητες. Πρώτον, ο κλιμακωτός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από τις αγκύλες τόσο από τον πρώτο όσο και από τον δεύτερο παράγοντα του κλιματικού προϊόντος, το αποτέλεσμα δεν θα υποστεί καμία αλλαγή. Δεύτερον, μαζί με τη δυνατότητα διανομής του πρώτου στοιχείου του προϊόντος κουκκίδων, η κατανομή του δεύτερου στοιχείου δρα επίσης. Επιπλέον, εκτός από το κλιμακωτό άθροισμα των διανυσμάτων, η κατανομή γίνεται επίσης στην περίπτωση αφαίρεσης των διανυσμάτων. Τέλος, τρίτον, με κλιμακωτό πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με μηδέν, το αποτέλεσμα θα είναι επίσης μηδέν.

Έτσι, ο ευκλείδειος χώρος είναιη πιο σημαντική γεωμετρική έννοια που χρησιμοποιείται για την επίλυση προβλημάτων με την αμοιβαία διάταξη των διανυσμάτων που σχετίζονται μεταξύ τους, για τον χαρακτηρισμό του οποίου χρησιμοποιείται μια τέτοια έννοια όπως το προϊόν κουκκίδων.