Georg Cantor (la photo est donnée plus loin dans l'article) -un mathématicien allemand qui a créé la théorie des ensembles et introduit le concept de nombres transfinis, infiniment grands, mais différents les uns des autres. Il a également défini les nombres ordinaux et cardinaux et a créé leur arithmétique.
Né à Saint-Pétersbourg le 03.03.1845. Son père était une religion protestante danoise Georg-Waldemar Kantor, qui était impliqué dans le commerce, y compris à la bourse. Sa mère, Maria Boehm, était catholique et venait d'une famille de musiciens distingués. Lorsque le père de Georg tomba malade en 1856, la famille déménagea, à la recherche d'un climat plus doux, d'abord à Wiesbaden puis à Francfort. Les talents mathématiques du garçon se sont manifestés avant même son 15e anniversaire alors qu'il étudiait dans des écoles privées et des gymnases à Darmstadt et Wiesbaden. Finalement, Georg Cantor a convaincu son père de sa ferme intention de devenir mathématicien et non ingénieur.
Après une brève étude à l'Université de Zurich en 1863, Kantor est transféré à l'Université de Berlin pour étudier la physique, la philosophie et les mathématiques. Là, il a appris:
Après avoir passé un semestre à l'Université de Göttingen à1866, l'année suivante, Georg rédige sa thèse de doctorat intitulée "En mathématiques, l'art de poser des questions est plus précieux que de résoudre des problèmes", concernant un problème que Karl Friedrich Gauss laissa sans solution dans ses Disquisitiones Arithmeticae (1801). Après avoir brièvement enseigné à la Berlin School for Girls, Kantor a commencé à travailler à l'Université de Halle, où il est resté jusqu'à la fin de sa vie, d'abord comme enseignant, à partir de 1872 comme professeur assistant et à partir de 1879 comme professeur.
Au début d'une série de 10 œuvres de 1869 à 1873 Georg Cantor a envisagé la théorie des nombres. Le travail reflète sa passion pour le sujet, ses études de Gauss et l'influence de Kronecker. Sur la suggestion de Heinrich Eduard Heine, un collègue de Cantor à Halle, qui a reconnu son talent mathématique, il s'est tourné vers la théorie des séries trigonométriques, dans laquelle il a élargi le concept des nombres réels.
À partir du travail sur la fonction du complexevariable du mathématicien allemand Bernhard Riemann en 1854, en 1870 Cantor a montré qu'une telle fonction ne peut être représentée que d'une seule manière - les séries trigonométriques. La prise en compte d'un ensemble de nombres (points) qui ne contredirait pas un tel concept l'a conduit, d'abord, en 1872, à la définition des nombres irrationnels en termes de séquences convergentes de nombres rationnels (fractions d'entiers) puis au début de travaux sur l'œuvre de toute sa vie, théorie des ensembles et concept de nombres transfinis.
Georg Cantor, dont la théorie des ensembles est néeen correspondance avec le mathématicien de l'Institut technique de Brunswick, Richard Dedekind, il était ami avec lui depuis l'enfance. Ils sont arrivés à la conclusion que les ensembles, finis ou infinis, sont une collection d'éléments (par exemple, des nombres, {0, ± 1, ± 2...}) qui ont une certaine propriété, tout en conservant leur individualité. Mais lorsque Georg Cantor a utilisé une correspondance un à un pour étudier leurs caractéristiques (par exemple, {A, B, C} à {1, 2, 3}), il s'est vite rendu compte qu'ils diffèrent par leur degré d'appartenance, voire s'il s'agissait d'ensembles infinis, c'est-à-dire d'ensembles dont une partie ou un sous-ensemble comprend autant d'objets que lui-même. Sa méthode a rapidement donné des résultats étonnants.
En 1873, Georg Cantor (mathématicien) montra queles nombres rationnels, bien qu'infinis, sont dénombrables, car ils peuvent être mis en correspondance biunivoque avec des nombres naturels (c'est-à-dire 1, 2, 3, etc.). Il a montré que l'ensemble des nombres réels, constitué d'irrationnels et de rationnels, est infini et indénombrable. Plus paradoxalement, Cantor a prouvé que l'ensemble de tous les nombres algébriques contient autant d'éléments que l'ensemble de tous les nombres entiers, et que les nombres transcendants qui ne sont pas algébriques, qui sont un sous-ensemble de nombres irrationnels, sont indénombrables et, par conséquent, leur nombre est plus grand que des entiers. , et doit être considéré comme infini.
Mais l'ouvrage de Cantor, dans lequel il a d'abord proposéces résultats n'ont pas été publiés dans la revue Krell, car l'un des critiques, Kronecker, s'y est opposé avec véhémence. Mais après l'intervention de Dedekind, il fut publié en 1874 sous le titre "Sur les propriétés caractéristiques de tous les nombres algébriques réels".
La même année, pendant le mielmois avec sa femme Wally Gutmann à Interlaken, en Suisse, Kantor a rencontré Dedekind, qui a parlé favorablement de sa nouvelle théorie. Le salaire de George était faible, mais avec l'argent de son père, décédé en 1863, il a construit une maison pour sa femme et ses cinq enfants. Beaucoup de ses travaux ont été publiés en Suède dans la nouvelle revue Acta Mathematica, éditée et fondée par Gesta Mittag-Leffler, qui fut l'une des premières à reconnaître le talent du mathématicien allemand.
La théorie de Cantor est devenue un sujet complètement nouveauétudes concernant les mathématiques de l'infini (par exemple, les séries 1, 2, 3, etc., et les ensembles plus complexes), qui dépendaient dans une large mesure de la correspondance biunivoque. Le développement par Cantor de nouvelles méthodes pour poser des questions concernant la continuité et l'infini a donné à ses recherches un caractère ambigu.
Quand il a soutenu que les nombres infinis sont réelsexistent, il se tourne vers la philosophie antique et médiévale en relation avec l'infini actuel et potentiel, ainsi que vers l'éducation religieuse précoce que lui donnent ses parents. En 1883, dans son livre Fundamentals of General Set Theory, Cantor a combiné son concept avec la métaphysique de Platon.
Kronecker, qui a fait valoir que « existent »que des nombres entiers ("Dieu a créé les nombres entiers, le reste est l'œuvre de l'homme"), a rejeté avec ferveur son raisonnement pendant de nombreuses années et a entravé sa nomination à l'Université de Berlin.
En 1895-97.Georg Cantor a pleinement formé son concept de continuité et d'infini, y compris les nombres ordinaux et cardinaux infinis, dans son ouvrage le plus célèbre, publié sous le titre "Contribution à la création de la théorie des nombres transfinis" (1915). Cet essai contient son concept, auquel il a été conduit par la démonstration qu'un ensemble infini peut être mis en correspondance un à un avec l'un de ses sous-ensembles.
Sous le plus petit nombre cardinal transfiniil voulait dire la cardinalité de tout ensemble qui peut être mis en correspondance biunivoque avec des nombres naturels. Cantor l'appelait aleph-zéro. Les grands ensembles transfinis sont notés aleph-one, aleph-two, etc. Puis il développa l'arithmétique des nombres transfinis, qui était analogue à l'arithmétique finie. Ainsi, il a enrichi le concept de l'infini.
L'opposition à laquelle il a fait face et le tempsqu'il a fallu pour que ses idées soient pleinement acceptées est due à la difficulté de réévaluer l'ancienne question de ce qu'est un nombre. Cantor a montré qu'un ensemble de points sur une ligne a une puissance supérieure à aleph-zéro. Cela a conduit au problème bien connu de l'hypothèse du continu - il n'y a pas de cardinaux entre le zéro aleph et la cardinalité des points sur la ligne. Ce problème a suscité un grand intérêt dans la première et la seconde moitié du 20e siècle et a été étudié par de nombreux mathématiciens, dont Kurt Gödel et Paul Cohen.
Biographie de Georg Cantor depuis 1884a été éclipsé par l'apparition de sa maladie mentale, mais il a continué à travailler activement. En 1897, il participe à la tenue du premier congrès international de mathématiques à Zurich. En partie parce qu'il était opposé à Kronecker, il sympathisait souvent avec les jeunes mathématiciens en herbe et cherchait un moyen de les libérer de l'oppression des enseignants qui se sentaient menacés par les nouvelles idées.
Au tournant du siècle, son œuvre est complètementreconnu comme la base de la théorie des fonctions, de l'analyse et de la topologie. En outre, les livres de Cantor Georg ont servi d'impulsion pour le développement ultérieur d'écoles intuitives et formalistes des fondements logiques des mathématiques. Cela a considérablement modifié le système d'enseignement et est souvent associé aux « nouvelles mathématiques ».
En 1911 g.Kantor faisait partie des invités à célébrer le 500e anniversaire de l'Université de St Andrews en Écosse. Il s'y rend dans l'espoir de rencontrer Bertrand Russell, qui, dans son ouvrage récemment publié Principia Mathematica, fait plusieurs fois référence au mathématicien allemand, mais cela ne se produit pas. L'université a décerné à Kantor un diplôme honorifique, mais en raison d'une maladie, il n'a pas pu accepter le prix en personne.
Kantor a pris sa retraite en 1913., vécut dans la pauvreté et mourut de faim pendant la Première Guerre mondiale. Les célébrations en l'honneur de son 70e anniversaire en 1915 ont été annulées en raison de la guerre, mais une petite cérémonie a eu lieu à son domicile. Il est décédé le 06.01.1918 à Halle, dans un hôpital psychiatrique, où il a passé les dernières années de sa vie.
9 août 1874Le mathématicien allemand a épousé Wally Gutmann. Le couple a eu 4 fils et 2 filles. Le dernier enfant est né en 1886 dans une nouvelle maison acquise par Kantor. L'héritage de son père l'a aidé à subvenir aux besoins de la famille. L'état de santé de Kantor a été fortement affecté par la mort de son plus jeune fils en 1899 - depuis lors, il n'a pas quitté la dépression.
