गणित उन विज्ञानों में से एक है जिसके बिनामानवता का अस्तित्व असंभव है। लगभग हर क्रिया, हर प्रक्रिया में गणित और उसके प्राथमिक कार्यों का उपयोग शामिल होता है। कई महान वैज्ञानिकों ने इस विज्ञान को सरल और स्पष्ट बनाने के लिए बहुत प्रयास किए हैं। विभिन्न प्रमेय, स्वयंसिद्ध और सूत्र छात्रों को जल्दी से जानकारी प्राप्त करने और व्यवहार में ज्ञान लागू करने की अनुमति देते हैं। इसके अलावा, उनमें से ज्यादातर को जीवन भर याद किया जाता है।
छात्रों को सक्षम करने के लिए सबसे सुविधाजनक सूत्रऔर स्कूली बच्चों के लिए विशाल उदाहरण, भिन्न, तर्कसंगत और तर्कहीन अभिव्यक्तियों के साथ सामना करने के लिए, सूत्र हैं, जिनमें संक्षिप्त गुणन शामिल हैं:
1. क्यूब्स और क्यूब्स के अंतर:
साथ3 - टी3 - अंतर;
सेवा3 + ल3 - रकम।
2. योग के घन के लिए सूत्र, साथ ही अंतर का घन:
(f + g)3 और (एच - डी)3;
वर्गों के 3.Difference:
z2 - वी2;
4. योग की राशि:
(n + m)2 और इसी तरह
क्यूब्स के योग का सूत्र व्यावहारिक रूप से याद रखने और पुन: पेश करने के लिए सबसे कठिन है। यह इसके डिकोडिंग में प्रत्यावर्ती संकेतों के कारण है। वे अन्य मंत्रों के साथ भ्रमित, गलत हैं।
क्यूब्स का योग निम्नानुसार है:
सेवा3 + ल3 = (के + एल) * (के2 - के * एल + एल2)।
समीकरण का दूसरा भाग कभी-कभी भ्रमित होता हैद्विघात समीकरण या योग के वर्ग की खुली अभिव्यक्ति और दूसरे शब्द में जोड़ें, अर्थात् "के * एल" संख्या 2। हालांकि, क्यूब्स के योग का सूत्र केवल इस तरह से प्रकट होता है। आइए साबित करें कि दाएं और बाएं पक्ष समान हैं।
चलो विपरीत से चलते हैं, अर्थात्, हम यह दिखाने की कोशिश करेंगे कि दूसरी छमाही (k + l) * (k)2 - के * एल + एल2) अभिव्यक्ति k के बराबर होगी3 + ल3.
आइए शर्तों को गुणा करके कोष्ठकों का विस्तार करें। ऐसा करने के लिए, पहले हम दूसरी अभिव्यक्ति के प्रत्येक शब्द से "k" को गुणा करते हैं:
k * (के2 - के * एल + के2) = के * ल2 - k * (k * l) + k * (l)2);
फिर, उसी तरह, हम अज्ञात "l" के साथ एक क्रिया करते हैं:
l * (के2 - के * एल + के2) = ल * क2 - l * (k * l) + l * (l)2);
क्यूब्स के योग के लिए सूत्र की परिणामी अभिव्यक्ति को सरल करें, कोष्ठक खोलें, और उसी समय समान शब्द दें:
(क3 - क2* l + k * l2) + (l * k2 - एल2* k + l3) = के3 - क2एल + केएल2 + lk2 - एल.के.2 + ल3 = के3 - क2एल + के2एल + केएल2- केएल2 + ल3 = के3 + ल3.
यह अभिव्यक्ति सूत्र के मूल संस्करण के बराबर है, क्यूब्स का योग है, और इसे दिखाया जाना आवश्यक था।
आइए हम अभिव्यक्ति के लिए एक प्रमाण खोजें3 - टी3... संक्षिप्त गुणन के लिए इस गणितीय सूत्र को क्यूब्स का अंतर कहा जाता है। यह निम्नानुसार है:
साथ3 - टी3 = (s - t) * (s)2 + टी * एस + टी2)।
उसी तरह से पिछले उदाहरण में, हम दाएं और बाएं पक्षों के पत्राचार को साबित करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम कोष्ठकों को शब्दों को गुणा करके खोलते हैं:
अज्ञात "s" के लिए:
s * (s)2 + s * t + t2) = (एस)3 + एस2टी + सेंट2);
अज्ञात "t" के लिए:
t * (s)2 + s * t + t2) = (एस2टी + सेंट2 + टी3);
इस अंतर के कोष्ठकों को परिवर्तित और विस्तारित करते समय, यह पता चलता है:
साथ3 + एस2टी + सेंट2 - एस2टी - एस2टी - टी3 = एस3 + एस2t- एस2टी - सेंट2+ स्ट2- टी3= एस3 - टी3 - जिसे सिद्ध करना आवश्यक था।
यह याद रखने के लिए कि कौन से चिन्ह लगाए गए हैंऐसी अभिव्यक्ति का खुलासा करते समय, शब्दों के बीच के संकेतों पर ध्यान देना आवश्यक है। इसलिए, यदि एक अज्ञात को गणितीय प्रतीक "-" से दूसरे से अलग किया जाता है, तो पहले कोष्ठक में एक शून्य होगा, और दूसरा - दो प्लसस। यदि क्यूब्स के बीच एक "+" संकेत है, तो, तदनुसार, पहले कारक में एक प्लस होगा, और दूसरा - एक ऋण, और फिर एक प्लस।
इसे एक छोटे आरेख के रूप में दर्शाया जा सकता है:
साथ3 - टी3 → ("माइनस") * ("प्लस" "प्लस");
सेवा3 + ल3 → ("प्लस") * ("माइनस" "प्लस")।
आइए एक उदाहरण पर विचार करें:
अभिव्यक्ति (w - 2)3 + 8. कोष्ठक खोलना आवश्यक है।
समाधान:
(w - २)3 + 8 को (w - 2) के रूप में दर्शाया जा सकता है3 + 23
तदनुसार, क्यूब्स के योग के रूप में, इस अभिव्यक्ति को संक्षिप्त गुणन के सूत्र के अनुसार विस्तारित किया जा सकता है:
(w - 2 + 2) * ((w - 2)2 - 2 * (w - 2) + 22);
तब हम अभिव्यक्ति को सरल बनाते हैं:
डब्ल्यू * (डब्ल्यू2 - 4w + 4 - 2w + 4 + 4) = w * (w)2 - 6w + 12) = w3 - 6 डब्ल्यू2 + 12 डब्ल्यू।
इसके अलावा, पहला भाग (w - 2)3 अंतर के घन के रूप में भी देखा जा सकता है:
(एच - डी)3 = एच3 - 3 * एच2* d + 3 * h * d2 - डी3.
फिर, यदि आप इसे इस सूत्र के अनुसार खोलते हैं, तो आपको यह मिलता है:
(w - २)3 = w3 - 3 * डब्ल्यू2 * 2 + 3 * w * 22 - २3 = w3 - 6 * डब्ल्यू2 + 12 डब्ल्यू - 8।
यदि हम इसे मूल उदाहरण के दूसरे भाग में जोड़ते हैं, जिसका नाम "+8" है, तो परिणाम निम्नानुसार होगा:
(w - २)3 + 8 = डब्ल्यू3 - 3 * डब्ल्यू2 * 2 + 3 * w * 22 - २3 + 8 = डब्ल्यू3 - 6 * डब्ल्यू2 + 12 डब्ल्यू।
इस प्रकार, हमने दो तरीकों से इस उदाहरण का हल खोजा।
यह याद रखना चाहिए कि दृढ़ता और सावधानी किसी भी व्यवसाय में सफलता की कुंजी है, जिसमें गणितीय उदाहरणों को हल करना शामिल है।
