कार्यों के साथ काम करने का व्यापक ज्ञान प्राप्त करने के बाद, हमपर्याप्त साधनों से लैस, जो आपको एक सूत्र (फ़ंक्शन) के रूप में एक विशिष्ट गणितीय पैटर्न का पूरा अध्ययन करने की अनुमति देता है। बेशक, कोई सबसे सरल, लेकिन श्रमसाध्य तरीके से जा सकता है। उदाहरण के लिए, अपने आप से तर्क की सीमा पूछें, अंतराल का चयन करें, उस पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें और एक ग्राफ बनाएं। शक्तिशाली आधुनिक कंप्यूटर सिस्टम के साथ, इस समस्या को कुछ ही सेकंड में हल किया जा सकता है। लेकिन वे अपने शस्त्रागार से गणित के कार्यों के पूर्ण अध्ययन को हटाने की जल्दी में नहीं हैं, क्योंकि यह इन तरीकों से है कि हम ऐसी समस्याओं को हल करने में कंप्यूटर सिस्टम के सही संचालन का मूल्यांकन कर सकते हैं। यांत्रिक साजिश के साथ, हम तर्क की पसंद में उपरोक्त अंतराल की सटीकता की गारंटी नहीं दे सकते।
और केवल फ़ंक्शन का पूरा अध्ययन किए जाने के बाद, कोई यह सुनिश्चित कर सकता है कि ऐसे फ़ंक्शन के "व्यवहार" की सभी बारीकियों को नमूना अंतराल पर नहीं, बल्कि तर्क की संपूर्ण सीमा पर ध्यान दिया जाए।
खेतों में विभिन्न प्रकार के कार्यों को हल करने के लिएभौतिकी, गणित और प्रौद्योगिकी, विचार के तहत घटना में शामिल चर के बीच कार्यात्मक निर्भरता का अध्ययन करना आवश्यक हो जाता है। उत्तरार्द्ध, विश्लेषणात्मक रूप से एक या कई सूत्रों के एक सेट द्वारा परिभाषित किया गया है, गणितीय विश्लेषण के तरीकों से अध्ययन को पूरा करने की अनुमति देता है।
फ़ंक्शन का पूरा अध्ययन करने के लिए उन क्षेत्रों का पता लगाना और निर्धारित करना है जिसमें यह बढ़ता है (घटता है), जहां यह अधिकतम (न्यूनतम) तक पहुंचता है, साथ ही साथ इसकी अनुसूची की अन्य विशेषताएं भी।
जिसके अनुसार कुछ योजनाएं हैंफ़ंक्शन का पूरा अध्ययन किया जाता है। लगभग समान बिंदुओं को खोजने के लिए चल रहे गणितीय अनुसंधान की सूचियों के उदाहरणों को कम कर दिया जाता है। एक नमूना विश्लेषण योजना में निम्नलिखित अध्ययन शामिल हैं:
- हम फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन पाते हैं, इसकी सीमाओं के भीतर व्यवहार की जांच करते हैं;
- हम एक-तरफा सीमाओं का उपयोग करके वर्गीकरण के साथ ब्रेक पॉइंट की खोज करते हैं;
- हम asymptotes की परिभाषा को पूरा करते हैं;
- हम चरम सीमा और एकरसता के अंतराल के बिंदु पाते हैं;
- हम विभक्ति बिंदुओं, समतलता और उत्तलता के अंतराल को निर्धारित करते हैं;
- हम अध्ययन के दौरान प्राप्त परिणामों के आधार पर एक अनुसूची का निर्माण करते हैं।
जब इस के केवल कुछ बिंदुओं पर विचार कर रहे हैंयह ध्यान देने योग्य है कि अंतर कैलकुलस अध्ययन कार्यों के लिए एक बहुत ही सफल उपकरण बन गया। एक समारोह के व्यवहार और इसके व्युत्पन्न की विशेषताओं के बीच मौजूद सरल कनेक्शन हैं। इस समस्या को हल करने के लिए, पहले और दूसरे डेरिवेटिव की गणना करना पर्याप्त है।
घटते, बढ़ते समारोह के अंतराल को खोजने के क्रम पर विचार करें, उन्हें अभी भी एकरसता के अंतराल का नाम मिला है।
ऐसा करने के लिए, यह पहले के संकेत को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त हैएक निश्चित खंड पर व्युत्पन्न। यदि यह अंतराल पर लगातार शून्य से अधिक है, तो हम इस रेंज में फ़ंक्शन में नीरस वृद्धि का सुरक्षित रूप से न्याय कर सकते हैं, और इसके विपरीत। पहले व्युत्पन्न के नकारात्मक मूल्य समारोह को नीरस रूप से कम करते हैं।
गणना किए गए व्युत्पन्न का उपयोग करते हुए, हम निर्धारित करते हैंग्राफ के अनुभागों को उत्तलता कहा जाता है, साथ ही साथ फ़ंक्शन की संक्षिप्तता भी। यह साबित होता है कि यदि गणना के दौरान फ़ंक्शन की व्युत्पत्ति निरंतर और नकारात्मक प्राप्त की गई थी, तो यह उत्तलता को इंगित करता है, दूसरे व्युत्पन्न की निरंतरता और इसके सकारात्मक मूल्य ग्राफ की समरूपता को इंगित करता है।
वह क्षण खोजना जब संकेत बदलते हैंदूसरी व्युत्पन्न या उन क्षेत्रों में जहां यह मौजूद नहीं है, विभक्ति बिंदु के निर्धारण को इंगित करता है। यह वह है जो उत्तलता और संक्षिप्तता के अंतराल पर सीमा है।
फ़ंक्शन का एक पूरा अध्ययन के साथ समाप्त नहीं होता हैउपरोक्त बिंदु, लेकिन अंतर पथरी का उपयोग इस प्रक्रिया को बहुत सरल करता है। इसके अलावा, विश्लेषण परिणामों में विश्वसनीयता की अधिकतम डिग्री होती है, जो आपको एक ग्राफ़ बनाने की अनुमति देता है जो अध्ययन किए गए कार्यों के गुणों से पूरी तरह मेल खाता है।
