जॉर्ज कैंटर: सेट सिद्धांत, जीवनी और परिवार के गणितज्ञ

जॉर्ज कैंटर (फोटो बाद में लेख में दिया गया है) -जर्मन गणितज्ञ जिन्होंने सेट का सिद्धांत बनाया और ट्रांसफ़ेक्ट संख्या की अवधारणा को पेश किया, असीम रूप से बड़े, लेकिन एक दूसरे से अलग। उन्होंने क्रमिक और कार्डिनल संख्याओं को भी परिभाषित किया और उनका अंकगणित बनाया।

जॉर्ज कैंटर: एक लघु जीवनी

सेंट पीटर्सबर्ग में जन्मे 03.03.1845।उनके पिता जॉर्ज-वाल्डेमर कांटोर, एक डेनिश प्रोटेस्टेंट धर्म थे, जो स्टॉक एक्सचेंज सहित व्यापार में शामिल थे। उनकी मां, मारिया बोहेम, कैथोलिक थीं और प्रतिष्ठित संगीतकारों के परिवार से आई थीं। जब 1856 में जॉर्ज के पिता बीमार पड़ गए, तो परिवार एक दुधारू जलवायु की तलाश में, पहले वेसाबादेन और फिर फ्रैंकफर्ट चला गया। डार्मस्टेड और वेसबडेन में निजी स्कूलों और व्यायामशालाओं में पढ़ते हुए लड़के की गणितीय प्रतिभाओं को उसके 15 वें जन्मदिन से पहले ही दिखाया गया था। अंत में, जॉर्ज कैंटर ने एक इंजीनियर नहीं, एक गणितज्ञ बनने के अपने दृढ़ इरादे के अपने पिता को आश्वस्त किया।

1863 में ज्यूरिख विश्वविद्यालय में एक छोटे से अध्ययन के बाद, कांतोर ने भौतिकी, दर्शन और गणित का अध्ययन करने के लिए बर्लिन विश्वविद्यालय में स्थानांतरित कर दिया। वहाँ उन्हें सिखाया गया था:

• कार्ल थियोडर वीयरस्ट्रैस, जिनके विश्लेषण में विशेषज्ञता शायद जॉर्ज पर सबसे प्रभावशाली थी;
• अर्न्स्ट एडुर्ड कुम्मर, जिन्होंने उच्च अंकगणित पढ़ाया;
• लियोपोल्ड क्रोनकर, एक नंबर सिद्धांतवादी जिन्होंने बाद में कैंटर का विरोध किया।

गौटिंगेन विश्वविद्यालय में एक सेमेस्टर खर्च करने के बाद1866 में, अगले वर्ष, जॉर्ज ने अपने डॉक्टरेट शोध प्रबंध को लिखा "हकदार गणित में, सवाल पूछने की कला समस्याओं को हल करने की तुलना में अधिक मूल्यवान है", एक समस्या के बारे में जो कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने अपने डिस्क्वायरीज़ एरिथ्रोसाइटिका (1801) में अनसुलझी छोड़ दी थी। थोड़े समय के लिए बर्लिन स्कूल फॉर गर्ल्स में पढ़ाने के बाद, कांटोर ने हाले विश्वविद्यालय में काम करना शुरू कर दिया, जहाँ वे अपने जीवन के अंत तक रहे, पहले एक शिक्षक के रूप में, 1872 में एक सहायक प्रोफेसर के रूप में और 1879 में एक प्रोफेसर के रूप में।

अनुसंधान

1869 से 1873 तक 10 कार्यों की एक श्रृंखला की शुरुआत मेंजॉर्ज कैंटर ने संख्या सिद्धांत माना। काम ने इस विषय के लिए उनके जुनून, गॉस के अपने अध्ययन और क्रोनकर के प्रभाव को दर्शाया। हेल्ले में कैंटर के एक सहयोगी हेनरिक एडुर्ड हेइन के सुझाव पर, जिन्होंने अपनी गणितीय प्रतिभा को पहचाना, उन्होंने त्रिकोणमितीय श्रृंखला के सिद्धांत की ओर रुख किया, जिसमें उन्होंने वास्तविक संख्याओं की अवधारणा का विस्तार किया।

जटिल कार्य पर काम से शुरू1854 में जर्मन गणितज्ञ बर्नहार्ड रीमैन के चर, 1870 में कैंटर ने दिखाया कि इस तरह के फ़ंक्शन को केवल एक ही तरीके से दर्शाया जा सकता है - त्रिकोणमितीय श्रृंखला। संख्याओं (बिंदुओं) के एक सेट पर विचार करना, जो इस तरह के दृष्टिकोण का खंडन नहीं करेगा, सबसे पहले, 1872 में तर्कसंगत संख्याओं (पूर्णांकों के भिन्न) के अनुक्रमों को परिवर्तित करने के संदर्भ में तर्कहीन संख्याओं की परिभाषा के लिए और फिर अपने पूरे जीवन के काम पर काम की शुरुआत के लिए, सेट सिद्धांत और ट्रांसफ़ेक्ट संख्या की अवधारणा।

समुच्चय सिद्धान्त

जॉर्ज कैंटर, जिनके सिद्धांत का जन्म हुआ थातकनीकी संस्थान के ब्रॉन्स्चिव के गणितज्ञ रिचर्ड डेडेकिंड के साथ पत्राचार में बचपन से ही उनके साथ दोस्ती थी। वे इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि सेट, परिमित या अनंत, तत्वों का एक संग्रह है (उदाहरण के लिए, संख्याएँ, {0, ± 1, ± 2 ...}) जो कि एक निश्चित संपत्ति रखते हैं, जबकि उनकी व्यक्तित्व बनाए रखते हैं। लेकिन जब जॉर्ज कैंटर ने अपनी विशेषताओं का अध्ययन करने के लिए एक-से-एक पत्राचार का उपयोग किया (उदाहरण के लिए, {ए, बी, सी} से {1, 2, 3}), तो उन्हें जल्दी से एहसास हुआ कि वे अपने स्वयं के डिग्री में भिन्न हैं, भले ही वे अनंत सेट थे , वह है, सेट, एक हिस्सा या उपसमुच्चय जिसमें स्वयं के रूप में कई ऑब्जेक्ट शामिल हैं। उनकी पद्धति ने जल्द ही आश्चर्यजनक परिणाम दिए।

1873 में जॉर्ज कैंटर (गणितज्ञ) ने दिखायापरिमेय संख्याएँ, हालाँकि अनंत हैं, गणनीय हैं, क्योंकि उन्हें प्राकृतिक संख्याओं (यानी, 1, 2, 3, आदि) के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है। उन्होंने दिखाया कि तर्कहीन और तर्कसंगत युक्त वास्तविक संख्याओं का सेट अनंत और बेशुमार है। अधिक विरोधाभासी रूप से, कैंटर ने साबित किया कि सभी बीजीय संख्याओं के समुच्चय में सभी पूर्णांकों के सेट के रूप में कई तत्व होते हैं, और यह कि पारलौकिक संख्याएं जो बीजीय नहीं हैं, जो अपरिमेय संख्याओं का सबसेट हैं, बेशुमार हैं और इसलिए, उनकी संख्या पूर्णांक से अधिक है। , और अनंत के रूप में माना जाना चाहिए।

विरोधियों और समर्थकों

लेकिन कैंटर का काम, जिसमें उन्होंने पहली बार आगे रखाइन परिणामों को क्रेल पत्रिका में प्रकाशित नहीं किया गया था, क्योंकि समीक्षकों में से एक, क्रोनकर, का कड़ा विरोध किया गया था। लेकिन डेडेकिंड के हस्तक्षेप के बाद, यह 1874 में "ऑन द ऑल कैरेक्टरियल प्रॉपर्टीज ऑफ ऑल रियल अलजेब्रासिक नंबर्स" शीर्षक से प्रकाशित हुआ।

विज्ञान और व्यक्तिगत जीवन

उसी वर्ष में, शहद के दौरानइंटरलेकन, स्विट्जरलैंड में अपनी पत्नी वैली गुटमैन के साथ महीनों तक डोनडाइक से डोनराइंड मिले, जिन्होंने उनके नए सिद्धांत के अनुकूल बात की। जॉर्ज का वेतन छोटा था, लेकिन अपने पिता के पैसे से, जिनकी मृत्यु 1863 में हुई, उन्होंने अपनी पत्नी और पांच बच्चों के लिए एक घर बनाया। उनकी कई रचनाएँ स्वीडन में नई पत्रिका एक्टा मैथमेटिका में प्रकाशित हुई हैं, जिसे गस्टा मित्तग-लेफ़लर द्वारा संपादित और स्थापित किया गया है, जो जर्मन गणितज्ञ की प्रतिभा को पहचानने वाले पहले लोगों में से थे।

तत्वमीमांसा के साथ संबंध

कैंटर का सिद्धांत एक बिल्कुल नया विषय बन गया हैअनंत के गणित के विषय में अनुसंधान (उदाहरण के लिए, श्रृंखला 1, 2, 3, आदि, और अधिक जटिल सेट), जो कि एक-से-एक पत्राचार पर काफी हद तक निर्भर करता था। निरंतरता और अनंतता से संबंधित प्रश्नों को प्रस्तुत करने के लिए नए तरीकों के कैंटर के विकास ने उनके शोध को अस्पष्ट बना दिया।

जब उन्होंने तर्क दिया कि अनंत संख्या वास्तविक हैंअस्तित्व में, वह वास्तविक और संभावित अनंत के संबंध में प्राचीन और मध्यकालीन दर्शन में बदल गया, साथ ही साथ प्रारंभिक धार्मिक शिक्षा जो उसके माता-पिता ने उसे दी थी। 1883 में, जनरल सेट थ्योरी की बुनियादी बातों में उनकी पुस्तक में, कैंटर ने प्लेटो के तत्वमीमांसा के साथ अपनी अवधारणा को जोड़ा।

क्रोनकर, जिन्होंने तर्क दिया कि "अस्तित्व में"केवल पूरी संख्या ("भगवान ने पूरी संख्याएँ बनाईं, बाकी आदमी का काम है"), कई वर्षों तक अपने तर्क को अस्वीकार कर दिया और बर्लिन विश्वविद्यालय में उनकी नियुक्ति को रोक दिया।

ट्रांसफ़ेक्ट संख्या

1895-97 में।जॉर्ज कैंटर ने निरंतरता और अनंतता की अपनी अवधारणा को पूरी तरह से शामिल किया, जिसमें अनंत अध्यादेश और कार्डिनल संख्याएं शामिल थीं, अपने सबसे प्रसिद्ध काम में, "ट्रांसफ़ेक्ट संख्याओं के सिद्धांत के निर्माण में योगदान" शीर्षक के तहत प्रकाशित किया गया था (1915)। इस निबंध में उनकी अवधारणा शामिल है, जिसके लिए वह इस प्रदर्शन का नेतृत्व कर रहे थे कि एक अनंत सेट को उसके एक सबसेट के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है।

सबसे छोटी ट्रांसफ़ेक्टिन कार्डिनल संख्या के तहतउनका मतलब था किसी भी सेट की कार्डिनैलिटी जिसे एक-से-एक पत्राचार में प्राकृतिक संख्याओं के साथ रखा जा सकता है। कैंटर ने इसे एलेफ-शून्य कहा। बड़े ट्रांसफ़ेक्ट सेट को एलेफ़-वन, एलेफ़-टू इत्यादि के रूप में दर्शाया जाता है। उन्होंने आगे ट्रांसफ़ेक्ट संख्याओं के अंकगणित को विकसित किया, जो सममित अंकगणित के अनुरूप था। इस प्रकार, उन्होंने अनंत की अवधारणा को समृद्ध किया।

विरोध और वह समय का सामना करना पड़ायह पूरी तरह से स्वीकार किए जाने के लिए अपने विचारों को ले लिया कि एक नंबर क्या है के प्राचीन प्रश्न के पुनर्मूल्यांकन की कठिनाई के कारण है। कैंटर ने दिखाया कि लाइन पर बिंदुओं के एक सेट में एलेफ़-शून्य की तुलना में अधिक शक्ति होती है। इससे निरंतरता परिकल्पना की अच्छी तरह से ज्ञात समस्या का कारण बना - लाइन पर एलेफ शून्य और अंक की कार्डिनैलिटी के बीच कोई कार्डिनल नहीं हैं। इस समस्या ने 20 वीं शताब्दी के पहले और दूसरे भाग में बहुत रुचि पैदा की और कर्ट गोडेल और पॉल कोहेन सहित कई गणितज्ञों द्वारा अध्ययन किया गया था।

मंदी

1884 से जॉर्ज कैंटर की जीवनीउसकी मानसिक बीमारी की शुरुआत से ग्रस्त था, लेकिन उसने सक्रिय रूप से काम करना जारी रखा। 1897 में उन्होंने ज्यूरिख में पहले अंतर्राष्ट्रीय गणितीय कांग्रेस की मेजबानी करने में मदद की। आंशिक रूप से क्योंकि वह क्रोनकर द्वारा विरोध किया गया था, वह अक्सर युवा आकांक्षी गणितज्ञों के साथ सहानुभूति रखता था और उन्हें उन शिक्षकों से उत्पीड़न से मुक्त करने का रास्ता तलाशता था जो नए विचारों से खतरा महसूस करते थे।

मान्यता

सदी के मोड़ पर, उनका काम पूरी तरह से थाकार्यों, विश्लेषण और टोपोलॉजी के सिद्धांत के आधार के रूप में मान्यता प्राप्त है। इसके अलावा, कैंटर जॉर्ज की पुस्तकों ने गणित की तार्किक नींव के सहज और औपचारिक विद्यालयों के आगे विकास के लिए एक प्रेरणा के रूप में कार्य किया। इसने शिक्षण प्रणाली को महत्वपूर्ण रूप से बदल दिया है और अक्सर "नए गणित" के साथ जुड़ा हुआ है।

1911 में जी।कैंटोर स्कॉटलैंड में सेंट एंड्रयूज विश्वविद्यालय की 500 वीं वर्षगांठ मनाने के लिए आमंत्रित किए गए लोगों में से थे। वह बर्ट्रेंड रसेल से मिलने की उम्मीद में वहाँ गया था, जिसने अपने हाल ही में प्रकाशित काम प्रिंसिपिया मैथेमेटिका में जर्मन गणितज्ञ के लिए बार-बार संदर्भ दिया, लेकिन ऐसा नहीं हुआ। विश्वविद्यालय ने कांतोर को मानद उपाधि से सम्मानित किया, लेकिन बीमारी के कारण, वह व्यक्तिगत रूप से पुरस्कार स्वीकार नहीं कर पाए।

1913 में कांतोर सेवानिवृत्त हुए।, गरीबी में रहे और प्रथम विश्व युद्ध के दौरान भूखे रहे। 1915 में उनके 70 वें जन्मदिन के सम्मान में समारोह युद्ध के कारण रद्द कर दिया गया था, लेकिन उनके घर पर एक छोटा समारोह हुआ। उनकी मृत्यु 06.01.1918 को हाले में एक मनोरोग अस्पताल में हुई, जहाँ उन्होंने अपने जीवन के अंतिम वर्ष बिताए।

जॉर्ज कैंटर: जीवनी। एक परिवार

9 अगस्त, 1874जर्मन गणितज्ञ ने वैली गुटमैन से शादी की। दंपति के 4 बेटे और 2 बेटियां थीं। आखिरी बच्चे का जन्म 1886 में एक नए घर में हुआ था जो कि कांटोर द्वारा अधिगृहित किया गया था। उनके पिता की विरासत ने उन्हें अपने परिवार का समर्थन करने में मदद की। 1899 में अपने सबसे छोटे बेटे की मौत से कांतोर की स्वास्थ्य स्थिति बहुत प्रभावित हुई - तब से उन्होंने अवसाद नहीं छोड़ा।