Kako pronaći odrednicu matrice?

Pronalaženje odrednice matrice je važnodjelovanje ne samo za linearnu algebru: na primjer, u ekonomiji se pomoću ovog proračuna rješavaju sustavi linearnih jednadžbi s mnogo nepoznanica koji se široko koriste u ekonomskim problemima.

Pojam odrednice

Odrednica ili odrednica matricenaziva se vrijednost jednaka volumenu paralelepipeda izgrađenog na njegovim vektorima reda ili stupaca. Ova se vrijednost može izračunati samo za kvadratnu matricu u kojoj je broj redaka i stupaca jednak. Ako su članovi matrice brojevi, onda je i odrednica broj.

Izračun odrednica

Treba imati na umu da postoji nekoliko pravila koja mogu uvelike olakšati takve izračune.

Dakle, odrednica matrice koja se sastoji od jednečlan je jednak svom jedinom elementu. Nije teško izračunati odrednicu drugog reda, jer je za to dovoljno oduzeti umnožak elemenata smještenih na sekundarnoj dijagonali od umnoška članova glavne dijagonale.

Izračun odrednice trećeg reda najlakše je izvršiti prema pravilu trokuta. Da bismo to učinili, izvodimo sljedeće radnje:

1. Nalazimo proizvod tri člana matrice smještenih na njezinu glavnom dijeludijagonale.
2. Množimo s tri člana koja se nalaze na trokutima, čije su baze paralelne glavnoj dijagonali.
3. Ponavljamo prvi i drugi korak za bočnu dijagonalu.
4. Nalazimo zbroj svih vrijednosti dobivenih u prethodnim izračunima, dok su brojevi dobiveni u trećem stavku uzeti sa znakom minus.

Da bismo lako pronašli odrednicu matrice reda 4, kao i veće dimenzije, potrebno je razmotriti svojstva koja imaju sve odrednice:

1. Vrijednost determinante ne mijenja se nakon transpozicije matrice.
2. Zamjena dva susjedna retka ili stupca dovodi do promjene znaka odrednice.
3. Ako matrica ima dva jednaka retka ili stupca ili su svi elementi stupca (retci) nula, tada je njezina odrednica nula.
4. Množenje brojeva matrice s bilo kojim brojem dovodi do povećanja njene odrednice za isti broj puta.

Korištenje gore navedenih svojstava pomaže ulakoća pronalaženja odrednice matrice bilo kojeg reda. Na primjer, koristeći za to metodu smanjivanja redoslijeda, u kojoj se odrednica razlaže na elemente retka (stupca) pomnožene s algebarskim dopunom.

Drugi način koji uvelike pojednostavljuje pronalaženje odrednice

I na kraju, želio bih primijetiti da izračunavanje odrednica, iako se sastoji od naizgled jednostavnih matematičkih izračuna, zahtijeva znatnu pažnju i pomnost.