Kontinuirana funkcija

Kontinuirana funkcija je funkcijabez "skokova", tj. one za koju je uvjet zadovoljen: male promjene u argumentu praćene su malim promjenama odgovarajućih vrijednosti funkcije. Graf takve funkcije je glatka ili kontinuirana krivulja.

Kontinuitet u točki koja za neke ograničavaskup se može definirati pomoću koncepta granice, naime: funkcija mora u tom trenutku imati granicu koja je jednaka njegovoj vrijednosti u graničnoj točki.

Ako su ti uvjeti prekršeni u nekom trenutku,kažu da funkcija u određenoj točki trpi diskontinuitet, odnosno da je njezin kontinuitet narušen. Na jeziku ograničenja, točka prekida može se opisati kao neusklađenost između vrijednosti funkcije na mjestu prekida i granice funkcije (ako postoji).

Prijelomna točka može biti za jednokratnu upotrebupostojanje ograničenja funkcije je potrebno, ali ne podudara se s njegovom vrijednošću u određenoj točki. U ovom se slučaju u ovom trenutku može „ispraviti“, odnosno može se redefinirati da bude kontinuirana.
Potpuno drugačija slika nastaje ako granica funkcije ne postoji u određenoj točki. Postoje dva moguća prekida:

• prve vrste - obje su jednostrane granice prisutne i konačne, a vrijednost jednog ili oba ne podudara se s vrijednošću funkcije u određenoj točki;
• druge vrste, kada jedna ili obje jednostrane granice ne postoje ili su njihove vrijednosti beskonačne.

Svojstva kontinuiranih funkcija

• Funkcija dobivena kao rezultat aritmetičkih operacija, kao i superpozicija kontinuiranih funkcija na njihovoj domeni definicije, je također kontinuirana.
• Ako vam je u nekom trenutku dodijeljena kontinuirana funkcija koja je pozitivna, tada uvijek možete pronaći dovoljno malu četvrt u kojoj će zadržati svoj znak.
• Slično tome, ako su njegove vrijednosti u dvije točke A i Bjednaki su, odnosno, a i b, a a je različit od b, tada će za intermedijarne točke uzeti sve vrijednosti iz intervala (a; b). Iz ovoga se može izvući zanimljiv zaključak: ako dopustite da se istegnuta elastična traka smanji, tako da se ne stegne (ostane ravna), jedna će njezina točka ostati nepomična. Geometrijski, to znači da postoji ravna linija koja prolazi kroz bilo koju intermedijarnu točku između A i B, koja presijeca graf funkcije.

Naglasimo neke od kontinuiranih (u njihovoj domeni definicije) osnovnih funkcija:

• konstantno;
• racionalno;
• trigonometrijski.

Između dva temeljna pojma umatematika - kontinuitet i različitost - postoji neraskidiva veza. Dovoljno je samo zapamtiti da je za funkciju koja se može razlikovati potrebno da bude kontinuirana funkcija.

Ako je funkcija u nekom trenutku različita, tada je ona kontinuirana. Međutim, uopće nije potrebno da njegov derivat bude kontinuiran.

Funkcija koja ima na nekom skupukontinuirani derivat pripada zasebnoj klasi glatkih funkcija. Drugim riječima, to je kontinuirano diferencirajuća funkcija. Ako derivat ima ograničen broj točaka diskontinuiteta (samo prve vrste), takva se funkcija naziva komadno glatka.

Još jedan važan koncept proračunaje jednolični kontinuitet funkcije, tj. njezina sposobnost da bude jednako kontinuirana u bilo kojoj točki u svojoj domeni definicije. Dakle, ovo je svojstvo koje se razmatra na skupu točaka, a ne na bilo kojoj zasebno.

Ako popravite poantu, ne dobijate ništaosim definicije kontinuiteta, to jest iz prisutnosti jednoličnog kontinuiteta proizlazi da imamo kontinuiranu funkciju. Općenito govoreći, obrnuto nije točno. Međutim, prema Cantor-ovom teoremu, ako je funkcija kontinuirana na kompaktnom skupu, to jest na zatvorenom intervalu, tada je na njoj jednolično kontinuirana.