Zajedno s izvedenicama njihove funkcije diferencijali su jedan od osnovnih pojmova diferencijalračun, glavni odjeljak matematičke analize. Budući da su neraskidivo povezani, oboje se već nekoliko stoljeća aktivno koriste u rješavanju gotovo svih problema koji su nastali u procesu znanstvenog i tehničkog ljudskog djelovanja.
Prvi put objasnio što je diferencijal, jedanutemeljitelja (zajedno s Isaacom Newtonom) diferencijalnog računa, poznati njemački matematičar Gottfried Wilhelm Leibniz. Prije toga matematičari 17. čl. koristio vrlo nejasnu i nejasnu ideju o nekom beskrajno malom "nedjeljivom" dijelu bilo koje poznate funkcije, koji predstavlja vrlo malu konstantnu vrijednost, ali ne jednaku nuli, manju od koje vrijednosti funkcije jednostavno ne mogu biti. Odavde je bio samo jedan korak prije uvođenja koncepta beskonačno malih priraštaja argumenata funkcija i odgovarajućih priraštaja samih funkcija, izraženih u izvedenicama potonjih. I taj su korak gotovo istodobno poduzela dva gore spomenuta velika znanstvenika.
Na temelju potrebe za hitnim rješavanjempraktične probleme mehanike, koje su industrija i tehnologija koja se brzo razvijala postavile znanosti, Newton i Leibniz stvorili su opće metode za pronalaženje brzine promjene funkcija (prvenstveno u odnosu na mehaničku brzinu kretanja tijela duž poznate putanje), koja doveo je do uvođenja pojmova kao što su izvod i diferencijal funkcije, a također je pronašao algoritam za rješavanje obrnutog problema, kako pronaći putovan put iz poznate (promjenjive) brzine, što je dovelo do pojave koncepta integralni.
U spisima Leibniza i Newtona to se prvi put pojaviloideja da su diferencijali proporcionalni priraštajima argumenata Δh, glavnim dijelovima priraštaja funkcija Δu, koji se mogu uspješno primijeniti za izračunavanje vrijednosti potonjih. Drugim riječima, otkrili su da priraštaj funkcije može biti u bilo kojoj točki (unutar domene njene definicije) izražen u terminima njenog izvoda kao Δu = y "(x) Δh + αΔh, gdje je α Δh ostatak težnja nuli jer je Δh → 0 mnogo je brža od samog Δx.
Prema utemeljiteljima matanalize,diferencijali su upravo prvi pojmovi u izrazima za priraste bilo koje funkcije. Još uvijek nemaju jasno formulirani koncept granice sljedova, intuitivno su shvatili da vrijednost diferencijala teži izvedenici funkcije kao Δh → 0 - Δu / Δh → y "(x).
Za razliku od Newtona, koji je prvenstveno biofizičara i smatrao je matematički aparat pomoćnim alatom za proučavanje fizičkih problema, Leibniz je više pažnje posvetio upravo ovom alatu, uključujući sustav vizualnih i razumljivih oznaka matematičkih veličina. Upravo je on predložio općeprihvaćeni zapis za razlike funkcije dy = y "(x) dx, argumenta dx i izvoda funkcije u obliku njihova omjera y" (x) = dy / dx.
Što je razlika sa stajališta moderne matematike? Usko je povezan s konceptom promjenjivog prirasta. Ako varijabla y prvo uzme vrijednost y = y1a zatim y = y2, tada razlika y2 ─ god1 naziva se priraštaj y.
Ako je vrijednost Δu proizvoljne funkcije y = f (x)moguće je prikazati u obliku Δu = A Δh + α, pri čemu A ne ovisi o Δh, tj. A = const za zadani x, a pojam α pri Δh → 0 teži mu čak i brže od samog Δh, tada prvi ("glavni") pojam proporcionalan Δh, a za y = f (x) je diferencijal, označen dy ili df (x) (čita "de ygrek", "de eff from x"). Stoga su diferencijali "glavne" komponente povećanja funkcija, linearne s obzirom na Δh.
Neka je s = f (t) ravan udaljenosttočka pokretnog materijala iz početnog položaja (t je vrijeme provedeno na putu). Prirast Δs put je točke kroz vremenski interval Δt, a diferencijal ds = f "(t) Δt put je kojim bi točka prošla u isto vrijeme Δt da je zadržala brzinu f" (t ) koje je doseglo vrijeme t ... Za beskonačno mali Δt, zamišljeni put ds razlikuje se od pravih Δs beskonačno malom vrijednošću, koja ima viši poredak u odnosu na Δt. Ako brzina u trenutku t nije nula, tada ds daje približnu vrijednost za mali pomak točke.
Neka je linija L graf y = f (x).Tada je Δ h = MQ, Δu = QM "(vidi sliku dolje). Tangentna linija MN dijeli segment Δu na dva dijela, QN i NM". Prvi je proporcionalan Δh i jednak je QN = MQ ∙ tg (kut QMN) = Δh f "(x), tj. QN je diferencijal dy.
Drugi dio NM "daje razliku Δu ─ dy, pri Δh → 0duljina NM "smanjuje se čak i brže od prirasta argumenta, to jest, njezin je red malenosti veći od Δx. U slučaju koji se razmatra, za f" (x) ≠ 0 (tangenta nije paralelna s OX ), segmenti QM "i QN su ekvivalentni; drugim riječima, NM" se brže smanjuje (redoslijed njegove malenosti je veći) od ukupnog priraštaja Δu = QM ". To se može vidjeti na slici (kako se M" približava M , NM segment "čini manji postotak QM segmenta").
Dakle, grafički je diferencijal proizvoljne funkcije jednak priraštaju ordinate njegove tangente.
Koeficijent A u prvom članu izraza za priraštaj funkcije jednak je vrijednosti njegovog derivata f "(x). Dakle, vrijedi sljedeća relacija - dy = f" (x) Δh, ili df (x) = f "(x) Δh.
Poznato je da je priraštaj neovisnog argumenta jednak njegovom diferencijalu Δh = dx. U skladu s tim možete napisati: f "(x) dx = dy.
Pronalaženje (ponekad rečeno "rješavanja") diferencijala izvodi se prema istim pravilima kao i za izvedenice. Popis ih je dan u nastavku.
Ovdje su potrebna neka pojašnjenja.Prikazivanje vrijednosti f "(x) Δh diferencijala moguće je kada se x smatra argumentom. Ali funkcija može biti složena, u kojoj x može biti funkcija nekog argumenta t. Tada predstavljanje diferencijala izrazom f "(x) Δh je u pravilu nemoguće; osim u slučaju linearne ovisnosti x = at + b.
Što se tiče formule f "(x) dx = dy, onda u slučaju neovisnog argumenta h (tada dx = Δh), a u slučaju parametarske ovisnosti h o t, ona predstavlja diferencijal.
Na primjer, izraz 2 x Δx predstavlja za y = x2 njegov diferencijal kada je x argument. Sada stavljamo x = t2 a t ćemo smatrati argumentom. Tada je y = x2 = t4.
Nakon toga slijedi (t + Δt)2 = t2 + 2tΔt + Δt2... Dakle, Δh = 2tΔt + Δt2... Znači: 2xΔx = 2t2 (2tΔt + Δt2 ).
Ovaj izraz nije proporcionalan Δt i stoga sada 2xΔx nije diferencijal. Može se naći iz jednadžbe y = x2 = t4... Ispada da je jednako dy = 4t3Δt.
Ako uzmemo izraz 2xdx, tada on predstavlja diferencijal y = x2 za bilo koji argument t. Zapravo, za x = t2 dobivamo dx = 2tΔt.
Dakle 2xdx = 2t22tΔt = 4t3Δt, odnosno podudarali su se izrazi za diferencijale napisane u terminima dviju različitih varijabli.
Ako je f "(x) ≠ 0, tada su Δu i dy ekvivalentni (kada je Δh → 0); kada je f" (x) = 0 (što znači dy = 0), oni nisu ekvivalentni.
Na primjer, ako je y = x2, tada je Δu = (x + Δh)2 ─ x2= 2xΔx + Δx2, i dy = 2xΔx. Ako je x = 3, tada imamo Δy = 6Δx + Δx2 i dy = 6Δh, koji su ekvivalentni zbog Δh2→ 0, pri h = 0 vrijednosti Δu = Δh2 i dy = 0 nisu ekvivalentni.
Ova činjenica, zajedno s jednostavnom strukturomdiferencijal (tj. linearnost s obzirom na Δx), često se koristi u približnim izračunima, pod pretpostavkom da je Δu ≈ dy za male Δh. Pronalaženje diferencijala funkcije obično je lakše nego izračunavanje točne vrijednosti prirasta.
Primjerice, imamo metalnu kocku s rubom x = 10,00 cm. Kad se zagrije, rub se izdužio za Δh = 0,001 cm. Koliko se povećao volumen V kocke? Imamo V = x2tako da je dV = 3x2Δh = 3 ∙ 102∙ 0/01 = 3 (cm3). Porast volumena ΔV ekvivalentan je diferencijalnom dV, tako da je ΔV = 3 cm3... Kompletni izračun dao bi ΔV = 10,013 ─ 103 = 3,003001. Ali u ovom su rezultatu svi brojevi osim prvog nepouzdani; tako da, svejedno, trebate ga zaokružiti na 3 cm3.
Očito je da je ovaj pristup koristan samo ako je moguće procijeniti veličinu uvedene pogreške.
Pokušajmo pronaći diferencijal funkcije y = x3bez pronalaska izvedenice. Dajmo argumentu prirast i definirajmo Δu.
Δu = (Δh + x)3 ─ x3 = 3x2Δx + (3xΔx2 + Δx3).
Ovdje je koeficijent A = 3x2 ne ovisi o Δx, tako da je prvi član proporcionalan Δx, dok je drugi član 3xΔx2 + Δx3 pri Δh → 0 opada brže od povećanja argumenta. Dakle kurac 3x2Δx je diferencijal y = x3:
dy = 3x2Δh = 3x2dx ili d (x3) = 3x2dx.
Štoviše, d (x3) / dx = 3x2.
Pronađimo sada dy funkcije y = 1 / x u smislu njene izvedenice. Tada je d (1 / x) / dx = ─1 / x2... Stoga je dy = ─ Δh / h2.
U nastavku su navedene razlike osnovnih algebarskih funkcija.
Često nije teško izračunati funkciju f (x), kao ni njezinu izvedenicu f "(x) za x = a, ali nije lako učiniti isto u blizini točke x = a. Tada je an približan izraz dolazi u pomoć
f (a + Δh) ≈ f "(a) Δh + f (a).
Ona daje približnu vrijednost funkcije u malim koracima Δh kroz njezin diferencijal f "(a) Δh.
Stoga ova formula daje približan prikazizraz za funkciju na krajnjoj točki određenog presjeka duljine Δx kao zbroj njezine vrijednosti na početnoj točki ovog odjeljka (x = a) i diferencijal na istoj početnoj točki. Pogreška ove metode određivanja vrijednosti funkcije prikazana je na donjoj slici.
Međutim, također je poznat točan izraz vrijednosti funkcije za x = a + Δh, dat formulom konačnih prirasta (ili, drugim riječima, Lagrangeovom formulom)
f (a + Δh) ≈ f "(ξ) Δh + f (a),
gdje se točka x = a + ξ nalazi na odsječku od x = ado x = a + Δh, iako je njegov točan položaj nepoznat. Točna formula omogućuje vam procjenu pogreške približne formule. Stavimo li, međutim, ξ = Δx / 2 u Lagrangeovu formulu, iako ona prestaje biti točna, daje u pravilu puno bolju aproksimaciju od izvornog izraza kroz diferencijal.
Mjerni instrumenti u načelu su neprecizni, iunijeti odgovarajuće pogreške u mjerne podatke. Karakterizira ih granična apsolutna pogreška ili, ukratko, granična pogreška - pozitivan broj, koji očito premašuje ovu pogrešku u apsolutnoj vrijednosti (ili, u ekstremnim slučajevima, jednak njoj). Granična relativna pogreška naziva se količnik njezine podjele apsolutnom vrijednošću izmjerene vrijednosti.
Neka se za koristi točna formula y = f (x)proračun funkcije y, ali je vrijednost x rezultat mjerenja i stoga unosi pogrešku u y. Zatim, da biste pronašli graničnu apsolutnu pogrešku │Δu│ funkcije y, upotrijebite formulu
│Δu│≈│dy│ = │ f "(x) ││Δh│,
gdje je │Δh│ granična pogreška argumenta. Vrijednost │Δu│ treba zaokružiti, budući da sama je netočna zamjena izračuna prirasta izračunom diferencijala.
