Ещё в школе каждый из нас изучал уравнения и, svakako sustavi jednadžbi. Ali nisu mnogi ljudi svjesni da postoji nekoliko načina kako ih se riješiti. Danas ćemo detaljno analizirati sve metode za rješavanje sustava linearnih algebričnih jednadžbi koje se sastoje od više od dvije jednakosti.
Danas je poznato da je to umjetnostza rješavanje jednadžbi i njihovih sustava nastalih u drevnom Babilonu i Egiptu. Međutim, jednakosti u svom uobičajenom obliku za nas pojavile su se nakon pojave znaka jednakosti "=", koji je 1556. godine uveo engleski matematičar Record. Usput, ovaj je znak izabran s razlogom: znači dva paralelna jednaka segmenta. Doista, nema boljeg primjera jednakosti.
Osnivač je moderne abecedenota nepoznanica i znakova stupnjeva je francuski matematičar Francois Viet. Međutim, njegove su se oznake znatno razlikovale od današnjih. Na primjer, označio je kvadrat nepoznatog broja slovom Q (lat. "Quadratus"), a kocku slovom C (lat. "Cubus"). Ovi se zapisi sada čine neugodnim, ali tada je to bio najrazumljiviji način za pisanje sustava linearnih algebričnih jednadžbi.
Međutim, nedostatak tadašnjih metoda rješenjamatematičari su smatrali samo pozitivne korijene. Možda je to zbog činjenice da negativne vrijednosti nisu imale praktičnu primjenu. Na ovaj ili onaj način, talijanski matematičari Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano i Rafael Bombelli počeli su razmišljati o negativnim korijenima prvo u 16. stoljeću. A moderni izgled, glavna metoda rješavanja kvadratnih jednadžbi (kroz diskriminaciju), stvorena je tek u 17. stoljeću zahvaljujući djelima Descartesa i Newtona.
В середине 18 века швейцарский математик Габриэль Kramer je pronašao novi način da olakša rješavanje sustava linearnih jednadžbi. Ta je metoda kasnije nazvana po njemu i do danas je koristimo. O Cramerovoj metodi govorit ćemo nešto kasnije, ali zasad ćemo raspravljati o linearnim jednadžbama i metodama njihovog rješavanja odvojeno od sustava.
Linearne jednadžbe su najjednostavnije jednakosti sa varijablama. Klasificirani su kao algebrični. Linearne jednadžbe pišu se u općem obliku kako slijedi: a1* s1+ a2 *s2+ ... an* sn= b. Morat ćemo ih prikazati u ovom obliku prilikom sastavljanja sustava i matrica u nastavku.
Definicija ovog pojma je:to je skup jednadžbi koje imaju zajedničke nepoznate veličine i općenito rješenje. U pravilu su u školi sustavi s dvije ili čak tri jednadžbe riješili sve. Ali postoje sustavi s četiri ili više komponenti. Prvo razmislimo kako ih zapisati kako bi ih u budućnosti bilo prikladno riješiti. Prvo, sustavi linearnih algebarskih jednadžbi izgledat će bolje ako se sve varijable napišu kao x s odgovarajućim indeksom: 1,2,3 i tako dalje. Drugo, sve jednadžbe treba svesti na kanonski oblik:1* s1+ a2 *s2+ ... an* sn= b.
Nakon svih ovih koraka možemo započeti govoriti kako pronaći rješenje sustava linearnih jednadžbi. Matrice su vrlo korisne za ovo.
Matrica je tablica koja se sastoji od redaka istupovi, a na njihovom sjecištu su njegovi elementi. To mogu biti ili određene vrijednosti ili varijable. Najčešće, radi označavanja elemenata, pretplatnici se stavljaju ispod njih (na primjer, i11 ili a23). Prvi indeks je broj retka, a drugi je stupac. Na matricama se, kao i na bilo kojem drugom matematičkom elementu, mogu izvesti različite operacije. Dakle, možete:
1) Oduzimite i dodajte tablice iste veličine.
2) Pomnožite matricu s nekim brojem ili vektorom.
3) Transponirajte: retke matrice pretvorite u stupce, a stupce u redove.
4) Pomnožite matrice ako je broj redaka u jednom od njih jednak broju stupaca u drugom.
Подробнее обсудим все эти приёмы, так как они dobro nam doći u budućnosti. Oduzimanje i zbrajanje matrica vrlo je jednostavno. Budući da uzmemo matrice iste veličine, svaki element jedne tablice odgovara svakom elementu druge. Na taj način zbrajamo (oduzimamo) ta dva elementa (važno je da oni stoje na istim mjestima u svojim matricama). Kad množite matricu s brojem ili vektorom, samo morate svaki element matrice pomnožiti s tim brojem (ili vektorom). Transpozicija je vrlo zanimljiv proces. Vrlo je zanimljivo ponekad to vidjeti u stvarnom životu, na primjer, prilikom promjene orijentacije tableta ili telefona. Ikone na radnoj površini predstavljaju matricu, a kad promijenite položaj, ona se transponira i postaje šira, ali opada.
Takvi ćemo postupak također razmatrati kao matrično množenje.Iako nam nije korisno, ipak će nam biti korisno znati ga. Dvije matrice se mogu množiti samo pod uvjetom da je broj stupaca u jednoj tablici jednak broju redaka u drugoj. Sada uzmite elemente retka jedne matrice i elemente odgovarajućeg stupca druge. Pomnožite ih jedan s drugim, a zatim dodajte (tj. Na primjer, proizvod elemenata a11 i a12 na b12 i b22 bit će jednak: a11* u12 + a12* u22). Tako se dobija jedan element tablice, a na isti se način i dalje puni.
Sada možemo početi razmatrati kako se rješava sustav linearnih jednadžbi.
Ova se tema počinje odvijati u školi. Dobro poznajemo koncept "sustava dviju linearnih jednadžbi" i u stanju smo ih riješiti. Ali što ako je broj jednadžbi veći od dva? U tome će nam pomoći Gaussova metoda.
Naravno, ovu metodu je prikladno koristiti ako napravite matricu iz sustava. Ali to ne možete transformirati i odlučiti u njegovom najčišćem obliku.
Итак, как решается этим методом система линейных Gaussove jednadžbe? Usput, iako je ova metoda dobila ime po njemu, otkrili su je u antici. Gauss predlaže sljedeće: provesti operacije s jednadžbama kako bi se cijelo stanovništvo dovelo u postepeni oblik. Odnosno, potrebno je da se od vrha do dna (ako je pravilno postavljen) iz prve jednadžbe u zadnju po jedna nepoznata smanji. Drugim riječima, moramo osigurati da dobijemo, recimo, tri jednadžbe: u prvoj - tri nepoznanice, u drugoj - dvije, u trećoj - jedna. Zatim iz zadnje jednadžbe pronalazimo prvu nepoznanicu, zamjenjujemo njezinu vrijednost u drugoj ili prvoj jednadžbi, a zatim pronalazimo preostale dvije varijable.
Savladavanje ove metode je od vitalnog značajaovladati vještinom zbrajanja, oduzimanja matrica, a također treba biti u mogućnosti pronaći odrednice. Stoga, ako sve ovo radite loše ili uopće ne znate kako to učiniti, morat ćete naučiti i vježbati.
Što je suština ove metode i kako to učiniti takodobiti sustav linearnih Cramerovih jednadžbi? Sve je vrlo jednostavno. Moramo izgraditi matricu brojčanih (gotovo uvijek) koeficijenata sustava linearnih algebričnih jednadžbi. Da biste to učinili, jednostavno uzmite brojeve ispred nepoznanica i složite ih u tablicu redoslijedom kojim su zapisani u sustavu. Ako broju prethodi znak "-", tada pišemo negativni koeficijent. Dakle, sastavili smo prvu matricu koeficijenata za nepoznanice, ne uključujući brojeve nakon jednakih znakova (naravno, jednadžba bi trebala biti svedena na kanonski oblik, kad je samo broj s desne strane, a svi nepoznati s koeficijentima na lijevoj strani). Zatim morate napraviti još nekoliko matrica - po jednu za svaku varijablu. Da bismo to učinili, svaki stupac zamijenimo koeficijentima u prvoj matrici zauzvrat stupcem brojeva nakon znaka jednakosti. Tako dobivamo nekoliko matrica i tada pronalazimo njihove odrednice.
После того как мы нашли определители, дело за mali. Imamo početnu matricu i postoji nekoliko rezultirajućih matrica koje odgovaraju različitim varijablama. Da bismo dobili rješenja sustava, odrednicu rezultirajuće tablice dijelimo s odrednicom početne tablice. Rezultirajući broj je vrijednost jedne od varijabli. Slično tome nalazimo i sve nepoznanice.
Postoji još nekoliko metoda zadobiti rješenje za sustave linearnih jednadžbi. Na primjer, takozvana Gauss-Jordan metoda koja se koristi za pronalaženje rješenja sustava kvadratnih jednadžbi, a povezana je i s korištenjem matrica. Postoji i Jacobijeva metoda za rješavanje sustava linearnih algebričnih jednadžbi. Najlakše se prilagoditi računalu i koristi se u računalnoj tehnologiji.
Složenost obično nastaje ako je broj jednadžbimanji od broja varijabli. Tada sigurno možemo reći da je ili sustav nespojiv (odnosno, nema korijena), ili je broj njegovih rješenja teži beskonačnosti. Ako imamo drugi slučaj, onda moramo napisati opće rješenje sustava linearnih jednadžbi. Sadržat će barem jednu varijablu.
Tako smo došli kraju.Ukratko: ispitali smo što su sustav i matrica, naučili smo kako pronaći općenito rješenje sustava linearnih jednadžbi. Pored toga, razmotrili smo i druge mogućnosti. Otkrili smo kako se rješava sustav linearnih jednadžbi: Gaussova metoda i Cramer-ova metoda. Razgovarali smo o teškim slučajevima i drugim načinima pronalaženja rješenja.
Zapravo je ta tema mnogo opsežnija, a ako je želite bolje razumjeti, preporučujemo vam čitanje više specijalizirane literature.
