Egy adott f (x) függvény deriváltjaaz x0 pont a függvény növekedésének és az argumentum növekedésének hányadosát jelenti, feltéve, hogy x 0-t követ, és a határ létezik. A származékot általában egy prímjel jelöli, néha ponttal vagy differenciál segítségével. A határon átnyúló rögzítés gyakran megtévesztő, mivel ilyen ábrázolást rendkívül ritkán használnak.
Funkció, amelynek származéka van egy adott pontbanx0 pontot különböztethetõnek nevezzük egy ilyen ponton. Tegyük fel, hogy a D1 azon pontok halmaza, amelyeken az f függvény differenciálódik. Ha minden számhoz hozzárendelünk egy D f '(x) -hez tartozó x számot, akkor egy függvényt kapunk a D1 jelöléssel. Ez a függvény az y = f (x) származéka. A jelölés a következő: f '(x).
Ezenkívül a származékot széles körben használják afizika és technológia. Vegyük figyelembe a legegyszerűbb példát. Az anyagpont egyenesen mozog a koordinátán, és meghatározzuk a mozgás törvényét, vagyis ennek a pontnak az x koordinátája a közismert x (t) függvény. A t0 és t0 + t közötti idõintervallumban a pont mozgása x (t0 + t) -x (t0) = x, és átlagos sebessége v (t) x / t.
A mozgás jellegét néha úgy mutatják be, hogy mikorkis ideig az átlagos sebesség nem változik, vagyis a nagyobb pontosságú mozgást egyenletesnek kell tekinteni. Vagy az átlagsebesség értékét, ha t0 valamilyen abszolút pontos értékhez vezet, amelyet e pont pillanatnyi sebességének (t0) hívnak egy adott t0 pillanatban. Úgy gondolják, hogy a v (t) pillanatnyi sebesség ismert minden x (t) differenciált függvénynél, és v (t) egyenlő x '(t) -vel. Egyszerűen fogalmazva: a sebesség egy időkoordináta származéka.
A pillanatnyi sebességnek pozitív ésnegatív értékek, valamint 0. Ha egy bizonyos időintervallumban pozitív (t1; t2), akkor a pont ugyanabba az irányba mozog, vagyis az x (t) koordinátája az idővel növekszik, és ha v (t) negatív, akkor az x (t) koordináta csökken.
Bonyolultabb esetekben a pont síkban vagy térben mozog. Ezután a sebesség egy vektormennyiség, és meghatározza a v (t) vektor minden koordinátáját.
Hasonlóképpen lehet összehasonlítani a gyorsulássalpont mozgás. A sebesség az idő függvénye, azaz v = v (t). És egy ilyen függvény derivációja a mozgás gyorsulása: a = v ”(t). Vagyis kiderül, hogy a sebesség derivációja az idő vonatkozásában gyorsulás.
Tegyük fel, hogy y = f (x) - bármilyen differenciáltfunkciót. Ezután megvizsgálhatjuk az anyagpont mozgását a koordináta vonal mentén, amely az x = f (t) törvény mögött következik be. A származék mechanikai tartalma lehetővé teszi a differenciálszámítási tételek vizuális értelmezését.
Hogyan lehet származékot találni? Bizonyos függvény derivációjának megkeresését annak differenciálódásnak nevezzük.
Íme néhány példa a származtatott függvény megtalálására:
Egy állandó függvény deriváltja nulla; az y = x függvény deriváltja egyenlő.
És hogyan lehet egy frakció származékát megtalálni? Ehhez vegye figyelembe a következő anyagot:
Bármely x0 <> 0 esetén megvan
y / x = -1 / x0 * (x + x)
Számos szabály létezik a származék megtalálására. nevezetesen:
Ha az A és B funkciók meg vannak különböztetve az x0 ponton,akkor összegük differenciálva van: (A + B) '= A' + B '. Egyszerűen fogalmazva: az összeg származéka megegyezik a származékok összegével. Ha a függvény egy ponton differenciálódik, akkor növekedése nullára növekszik, amikor az argumentum nullára növekszik.
Ha az A és B funkciók meg vannak különböztetve az x0 ponton,akkor a termék megkülönböztetésre kerül: (A * B) '= A'B + AB'. (A függvények és származékaik értékét az x0 pontban számolják). Ha az A (x) függvény differenciálódik az x0 ponton és C állandó, akkor a CA funkció ezen a ponton differenciálódik és (CA) '= CA'. Vagyis egy ilyen állandó tényezőt eltávolítanak a derivált jelből.
Ha az A és B funkciók differenciálódnak az x0 ponton, és a B függvény nem egyenlő nullával, akkor az arányuk szintén differenciálódik a ponton: (A / B) '= (A'B-AB') / B * B.
