Folyamatos működés

A folyamatos funkció egy funkció„ugrások” nélkül, azaz olyan feltételek esetén, amelyek teljesülnek: az argumentum apró változásait a függvény megfelelő értékeinek apró változtatása követi. Az ilyen függvény grafikonja egy sima vagy folyamatos görbe.

Folyamatosság bizonyos ponton korlátozó pontonkészletek, a határ fogalmának felhasználásával határozható meg, nevezetesen: egy funkciónak egy olyan határértékkel kell rendelkeznie ezen a ponton, amely megegyezik annak értékével a határértéknél.

Ha ezeket a feltételeket valamikor megsértik,Azt mondják, hogy a funkció ezen a ponton szünetet szenved, vagyis megsértik a folytonosságát. A korlátok nyelvében a folytonossági pont leírható úgy, mint a függvény értékének a folytonos pontban való eltérése a függvény határával (ha létezik).

A töréspont ezért eltávolíthatószükséges egy funkciókorlát, de nem egyezik meg annak értékével egy adott ponton. Ebben az esetben ezen a ponton „helyesbíthető”, azaz tovább definiálható a folytonosság.
Teljesen más kép alakul ki, ha a funkció korlátozása egy adott ponton nem létezik. Két lehetséges töréspont van:

• az első fajta - mindkét egyoldalú határérték véges és véges, és egyikük vagy mindkettő értéke nem egyezik meg a függvény értékével egy adott ponton;
• a második fajta, ha az egyik vagy mindkét egyoldalú határ nem létezik, vagy értékeik végtelenek.

A folyamatos funkciók tulajdonságai

• A számtani műveletek eredményeként kapott funkció, valamint a folyamatos függvényeknek a meghatározási területükön történő szuperpozíciója szintén folyamatos.
• Ha folyamatos függvényt adunk, amely egy bizonyos ponton pozitív, akkor mindig megtalálhat egy kellően kicsi szomszédságot, amelyben megtartja a jelét.
• Hasonlóképpen, ha az értéke két A és B ponton vanegyenlők, a és b, és a különbözik b-től, akkor köztes pontok esetén az összes értéket az (a; b) intervallumból veszi. Érdekes következtetést vonhat le ebből: ha hagyja, hogy a nyújtott gumi zsugorodjon úgy, hogy ne sag (egyenes marad), akkor egyik pontja mozdulatlan marad. De geometriailag ez azt jelenti, hogy egy vonal halad át az A és B közötti bármely köztes ponton, amely keresztezi a függvény grafikonját.

Megjegyezzük a folyamatos (definíciójuk területén) alapvető funkciók egy részét:

• konstans;
• racionális;
• trigonometria.

A két alapvető fogalom közöttmatematika - folytonosság és differenciálhatóság - elválaszthatatlan kapcsolat van. Elég emlékezni arra, hogy a függvény differenciálhatóságához szükséges, hogy folyamatos funkció legyen.

Ha a funkció valamikor megkülönböztethető, akkor ott folyamatos. Nem szükséges azonban, hogy származéka folyamatos legyen.

Funkció, amely valamilyen halmazon vanfolyamatos származék, a sima funkciók külön osztályába tartozik. Más szavakkal, ez egy folyamatosan differenciálható funkció. Ha a deriváltnak korlátozott számú folytonossági pontja van (csak az első típusú), akkor egy hasonló függvényt darabonként simanak hívnak.

A matematikai elemzés másik fontos fogalmaa funkció egységes folytonossága, vagyis az a képessége, hogy a meghatározási tartomány bármely pontján azonos folyamatossággal rendelkezzen. Tehát ez egy olyan tulajdonság, amelyet egy bizonyos ponton figyelembe vesznek, és nem egy adott.

Ha rögzít egy pontot, akkor az nem azegyébként, mint a folytonosság definíciója, vagyis az egyenletes folytonosság jelenlétéből következik, hogy folyamatos funkciónk van. Általában véve az ellenkezője nem igaz. Cantor-tétel szerint azonban, ha egy funkció egy kompakt halmazon, vagyis zárt intervallumon folyamatos, akkor egyenletesen folytonos rajta.