המחקר של תיאוריית ההסתברות מתחיל עם ההחלטהמשימות תוספת וכפל של הסתברויות. ראוי להזכיר בבת אחת שתלמיד עלול להיתקל בבעיה בשליטה על תחום ידע זה: אם ניתן להציג תהליכים פיזיים או כימיים בצורה חזותית ומובנת באופן אמפירי, הרי שרמת ההפשטה המתמטית גבוהה מאוד, וההבנה כאן באה רק עם ניסיון.
עם זאת, המשחק הוא שווה את זה, כי נוסחאות - הן נחשב במאמר זה מורכב יותר - משמשים בכל מקום היום עשוי להיות שימושי בעבודה.
למרבה הפלא, הדחף לפיתוח זההחלק של המתמטיקה הפך ... הימורים. ואכן, הקוביות, לזרוק מטבע, פוקר, רולטה הן דוגמאות אופייניות כי השימוש תוספת וכפל של הסתברויות. על הדוגמה של משימות בספר הלימוד כל זה ניתן לראות בבירור. אנשים היו מעוניינים ללמוד כיצד להגדיל את סיכוייהם לנצח, ואני חייב לומר, כמה הצליחו בכך.
עם זאת, למרות הריבית גדל בהנושא, רק למאה העשרים, פותחה מסגרת תיאורטית, מה שהופך את "theorever" מרכיב מלא של המתמטיקה. כיום, כמעט בכל מדע, ניתן למצוא חישובים בשיטות הסתברותיות.
הנקודה החשובה בעת שימוש נוסחאותו הסתברויות הכפלת, ההסתברות המותנית היא היתכנות של משפט הגבול המרכזי. אחרת, אם כי זה לא יכול להתממש על ידי התלמיד, כל החישובים, לא משנה כמה אמינים הם נראים, יהיה שגוי.
כן, סטודנט בעל מוטיבציה גבוהה מתפתה להשתמש בידע חדש בכל הזדמנות. אבל במקרה זה יש צורך להאט ו בקפידה להגדיר את היקף תחולת.
תורת ההסתברות עוסקת באקראיאירועים שבמונחים אמפיריים מייצגים את תוצאות הניסויים: אנחנו יכולים לגלגל קובייה עם שישה פרצופים, לצייר כרטיס מהסיפון, לחזות את מספר החלקים הפגומים במשחק. עם זאת, בכמה שאלות השימוש נוסחאות מתוך סעיף זה של המתמטיקה הוא בלתי אפשרי לחלוטין. נדון בתכונות של בחינת ההסתברויות של אירוע, משפטים של תוספת וכפל של אירועים בסוף המאמר, אך כעת נפנה לדוגמאות.
Под случайным событием подразумевается некоторый תהליך או תוצאה שעשויים להופיע או לא להופיע כתוצאה מניסוי. לדוגמה, אנחנו זורקים סנדוויץ '- הוא יכול להוריד חמאה או חמאה למטה. אחת משתי התוצאות תהיה אקראית, ואיננו יודעים מראש איזו מהן תתרחש.
הג'וינט נקרא אירועים כאלה, המראהשאחד מהם אינו שולל את הופעתו של האחר. נניח שני אנשים יורים בו-זמנית לעבר מטרה. אם אחד מהם עושה זריקה מוצלחת, זה לא ישפיע על היכולת של השני להכות את העין של השור או להחמיץ.
לא תואמים אירועים כאלה, שהופעתם בלתי אפשרית בו זמנית. לדוגמא, כשמוציאים כדור אחד בלבד מהקופסה, לא ניתן להשיג את הכחול וגם את האדום בבת אחת.
מושג ההסתברות מסומן באות הגדולה הלטינית P. בהמשך, בסוגריים יש טיעונים המציינים אירועים מסוימים.
בנוסחאות משפט התוספת, מותנההסתברויות, משפטי כפל, תראה ביטויים בסוגריים, למשל: A + B, AB או A | B. הם יחושבו בדרכים שונות, כעת נפנה אליהם.
בואו ניקח בחשבון את המקרים שבהם משתמשים בנוסחאות לחיבור וכפל הסתברויות.
עבור אירועים לא עקביים, נוסחת התוספת הפשוטה ביותר רלוונטית: ההסתברות לאחת מהתוצאות האקראיות תהיה שווה לסכום ההסתברויות של כל אחת מהתוצאות הללו.
במקרה של אירועים לא עקביים, הנוסחה נעשית מסובכת יותר מכיוון שנוסף מונח נוסף. בואו נחזור אליו בפסקה אחת, לאחר שנבחן נוסחה אחרת.
תוספת ומכפלת הסתברויות לעצמאיםמשתמשים באירועים במקרים שונים. אם, על פי תנאי הניסוי, אנו מרוצים מכל אחת משתי התוצאות האפשריות, אנו נחשב את הסכום; אם אנו רוצים להשיג שתי תוצאות מסוימות אחת אחרי השנייה, נשתמש בנוסחה אחרת.
אם נחזור לדוגמא מהסעיף הקודם, אנואנחנו רוצים לשלוף את הכדור הכחול תחילה ואז את האדום. המספר הראשון שאנו מכירים הוא 2/10. מה קורה לאחר מכן? נותרו 9 כדורים, ויש ביניהם כמה שיותר אדומים - שלושה. על פי חישובים זה יהיה 3/9 או 1/3. אבל עכשיו מה לעשות עם שני מספרים? התשובה הנכונה היא להכפיל כדי לקבל 2/30.
כעת תוכלו לחזור לנוסחת הסכום לאירועים משותפים. מדוע חרגנו מהנושא? כדי לגלות כיצד מכפילים את ההסתברויות. עכשיו הידע הזה יהיה שימושי עבורנו.
נניח שעלינו לפתור אחת משתי הבעיות,כדי לקבל אשראי. אנו יכולים לפתור את הראשון בהסתברות של 0.3 והשני - 0.6. פתרון: 0.3 + 0.6 - 0.18 = 0.72. שים לב שרק סיכום המספרים לא יספיק כאן.
לבסוף, יש את הרעיון של הסתברות מותנית,שטענותיהם מסומנות בסוגריים ומופרדות באמצעות צינורות. סימון ה- P (A | B) נקרא כדלקמן: "הסתברות לאירוע A אירוע B נתון".
בואו נראה דוגמה:חבר נותן לך מכשיר כלשהו, שיהיה טלפון. זה יכול להיות שבור (20%) או שמיש (80%). אתה יכול לתקן כל מכשיר שנפל לידיים שלך בהסתברות של 0.4, או שאתה לא יכול לעשות את זה (0.6). לבסוף, אם המכשיר תקין, תוכלו לעבור לאדם הנכון בהסתברות של 0.7.
קל לראות כיצד זה בא לידי ביטוי במקרה זההסתברות מותנית: לא תוכל לעבור לאדם אם הטלפון מקולקל, ואם הוא שירות, אינך צריך לתקן אותו. לפיכך, על מנת להשיג תוצאות כלשהן על "הרמה השנייה", עליכם לברר איזה אירוע בוצע בראשון.
בואו ניקח בחשבון דוגמאות לפתרון בעיות בתוספת וכפל הסתברויות, באמצעות הנתונים מהפסקה הקודמת.
ראשית, בואו נמצא את ההסתברות שאתהלתקן את המכשיר שניתן לך. כדי לעשות זאת, ראשית, זה חייב להיות פגום, ושנית, עליך להתמודד עם התיקון. זו בעיה אופיינית בשימוש בכפל: נקבל 0.2 * 0.4 = 0.08.
לבסוף, שקול אפשרות זו:קיבלת טלפון שבור, תיקנת אותו ואז חייג למספר והאדם השני הרים את הטלפון. כאן כבר נדרש הכפל של שלושה מרכיבים: 0.2 * 0.4 * 0.7 = 0.056.
ומה לעשות אם יש לך שניים שאינם עובדיםמכשיר טלפון? עד כמה הסיכוי שתתקן לפחות אחד מהם? זוהי בעיה של הוספה והכפלת הסתברויות, מכיוון שאירועים משותפים משמשים. פתרון: 0.4 + 0.4 - 0.4 * 0.4 = 0.8 - 0.16 = 0.64. לפיכך, אם תשים יד על שני מכשירים שבורים, תוכל לבצע תיקון של 64% מהמקרים.
כאמור בתחילת המאמר, השימוש בתורת ההסתברות חייב להיות מכוון ומכוון.
ככל שסדרת הניסויים גדולה יותר, כך קרוב יותרהערך החזוי תיאורטי מתאים לערך המתקבל בפועל. למשל, אנחנו זורקים מטבע. תיאורטית, בידיעה על קיומן של נוסחאות להוספה ולכפל הסתברויות, אנו יכולים לחזות כמה פעמים "ראשים" ו"זנבות "ייצאו אם נריץ את הניסוי 10 פעמים. ערכנו ניסוי, ובמקרה, יחס הצדדים ירד היה 3 ל- 7. אך אם אנו מריצים סדרה של 100, 1000 או יותר ניסיונות, מתברר שגרף ההתפלגות מתקרב לזה התיאורטי: 44 ל- 56, 482 ל- 518 וכן הלאה.
לפיכך, אם אתה מתייחסהלא נודע, לאזור שלא נחקר, תיאוריית ההסתברות לא יכולה להיות ישימה. כל ניסיון שלאחר מכן במקרה זה עשוי להצליח והכללות כמו "X לא קיים" או "X זה בלתי אפשרי" יהיו מוקדמות מדי.
אז שקלנו שני סוגים של תוספת, כפלוהסתברויות מותנות. ככל שתחקור את האזור הזה עוד יותר, עליך ללמוד להבחין בין מצבים שבהם משתמשים בכל נוסחה ספציפית. בנוסף, עליכם לדמיין האם בדרך כלל שיטות הסתברותיות ישימות לפתרון הבעיה שלכם.
