שוב בבית הספר, כל אחד מאיתנו למד משוואות,בהחלט מערכות משוואות. אך לא רבים יודעים שישנן כמה דרכים לפתור אותן. היום ננתח בפירוט את כל השיטות לפיתרון מערכת של משוואות אלגבריות ליניאריות, המורכבות ביותר משתי שוויון.
היום זה ידוע שאמנותלפתור משוואות ומערכותיהן מקורן בבבל העתיקה ובמצרים. עם זאת, שוויון בצורתם הרגילה הופיע לאחר הופעת הסימן השווה "=", שהוצג בשנת 1556 על ידי המתמטיקאי האנגלי Record. אגב, סימן זה נבחר מסיבה: פירושו שני מקטעים שווים מקבילים. אכן, אין דוגמה טובה יותר לשוויון.
מייסד אלפבית מודרניתסימון אלמונים וסימני תארים הוא המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה וייט. עם זאת, ייעודיו היו שונים משמעותית מהיום. לדוגמה, ריבוע המספר הלא ידוע, הוא מציין את האות Q (ל"ט. "קוואדראטוס"), וקוביה על ידי האות C (ל"ט. "קובוס"). רישומים אלה נראים כעת לא נוחים, אך אז זו הייתה הדרך המובנת ביותר לכתוב מערכות של משוואות אלגבריות ליניאריות.
עם זאת, חיסרון בשיטות הפיתרון שאזזה שהמתמטיקאים שקלו רק שורשים חיוביים. אולי זה נובע מהעובדה שלערכים השליליים לא היה יישום מעשי. כך או אחרת, המתמטיקאים האיטלקיים ניקולו טרטוליה, גרולמו קרדאנו ורפאל בומבלי החלו לשקול שורשים שליליים בראשית המאה ה -16. והמראה המודרני, השיטה העיקרית לפתרון משוואות ריבועיות (באמצעות מפלה) נוצרה רק במאה ה -17 בזכות עבודתם של דקארט וניוטון.
באמצע המאה ה -18 המתמטיקאי השוויצרי גבריאלקרמר מצא דרך חדשה להקל על פיתרון מערכות של משוואות לינאריות. לאחר מכן נקראה שיטה זו על שמו ועד היום אנו משתמשים בה. אבל נדבר על שיטת Cramer מעט מאוחר יותר, אך לעת עתה נדון במשוואות ושיטות לינאריות לפתרוןן בנפרד מהמערכת.
משוואות לינאריות הן השוויון הפשוט ביותר עם משתנה / ים. הם מסווגים כאלגבריות. משוואות לינאריות נכתבות בצורה כללית באופן הבא: א1* ש1+ א2 *עם2+ ... אמר* שמר= ב. נצטרך לייצג אותם בצורה זו בעת עריכת מערכות ומטריצות להלן.
ההגדרה של מונח זה היא:זו קבוצה של משוואות שיש בהן כמויות לא ידועות ופתרון כללי. ככלל, בבית הספר מערכות עם שתיים ואפילו שלוש משוואות פתרו הכל. אבל יש מערכות עם ארבעה רכיבים או יותר. בואו נגלה ראשית כיצד לרשום אותם כך שיהיה נוח לפתור בעתיד. ראשית, מערכות של משוואות אלגבריות ליניאריות ייראו טוב יותר אם כל המשתנים נכתבים כ- x עם האינדקס המתאים: 1,2,3 וכן הלאה. שנית, יש לצמצם את כל המשוואות לצורה הקנונית:1* ש1+ א2 *עם2+ ... אמר* שמר= ב.
לאחר כל השלבים הללו, נוכל להתחיל לספר כיצד למצוא פיתרון למערכות של משוואות לינאריות. מטריצות מאוד שימושיות לכך.
מטריצה היא טבלה המורכבת משורות ו-עמודות, ובצומת שלהן האלמנטים שלה. אלה יכולים להיות ערכים או משתנים ספציפיים. לרוב, כדי לציין אלמנטים, רשימות המשנה ממוקמות מתחתיהן (למשל, ו-11 או א23) האינדקס הראשון הוא מספר השורה, והשני הוא העמודה. על מטריצות, כמו על כל מרכיב מתמטי אחר, ניתן לבצע פעולות שונות. כך תוכלו:
1) חיסרו והוסיפו טבלאות בגודל זהה.
2) הכפל את המטריצה במספר או בקטור כלשהו.
3) שקוף: הפוך שורות מטריצות לטורים, ועמודות לשורות.
4) הכפל מטריצות אם מספר השורות באחת מהן שווה למספר העמודות בשנייה.
נדון בכל הטריקים הללו ביתר פירוט, מכיוון שהםתגיע לנו בעתיד. חיסור ותוספת מטריצות הוא פשוט מאוד. מכיוון שאנו לוקחים מטריצות באותו גודל, כל אלמנט בטבלה אחת מתאים לכל אחד מהרכיבים האחרים. כך אנו מוסיפים (מחסרים) את שני האלמנטים הללו (חשוב שיעמדו באותם מקומות במטריצות שלהם). כאשר מכפילים מטריצה במספר או בקטור, אתה רק צריך להכפיל כל רכיב במטריקס במספר זה (או וקטור). טרנספוזיציה היא תהליך מאוד מעניין. מעניין מאוד לפעמים לראות את זה בחיים האמיתיים, למשל, כששנים את הכיוון של טאבלט או טלפון. סמלים בשולחן העבודה הם מטריצה, וכשמשנים את המיקום הוא מועבר והופך לרחב יותר, אך יורד בגובה.
נשקול גם תהליך כזה כפל מטריצה.למרות שזה לא מועיל לנו, עדיין יהיה מועיל להכיר אותו. ניתן להכפיל שתי מטריצות רק בתנאי שמספר העמודות בטבלה אחת שווה למספר השורות בשנייה. עכשיו קח את אלמנטים השורה של מטריצה אחת ואת האלמנטים של העמודה המתאימה של אחר. הכפלו זה את זה ואז הוסיפו אותם (כלומר, למשל, תוצר של אלמנטים א11 ו12 על ב12 ו ב22 יהיה שווה ל: א11* ב12 + א12* ב22). כך מתקבל אלמנט אחד של הטבלה, ובשיטה דומה הוא מתמלא עוד יותר.
כעת נוכל להתחיל לשקול כיצד נפתרת מערכת המשוואות הלינאריות.
נושא זה מתחיל להתקיים בבית הספר. אנו מודעים היטב למושג "מערכת של שתי משוואות ליניאריות" ומסוגלים לפתור אותן. אבל מה אם מספר המשוואות הוא יותר משניים? שיטת גאוס תעזור לנו בכך.
כמובן ששיטה זו נוחה לשימוש אם מייצרים מטריצה מהמערכת. אבל אתה לא יכול להפוך אותו ולפתור אותו בצורה הטהורה ביותר.
אז איך המערכת של ליניאריתמשוואות גאוס? אגב, למרות ששיטה זו נקראת על שמו, היא התגלתה בעת העתיקה. גאוס מציע את הפעולות הבאות: לבצע פעולות עם משוואות כדי בסופו של דבר להפחית את כל המערך לצורה שלבית. כלומר, יש צורך שמלמעלה למטה (אם ממוקמים כראוי) מהמשוואה הראשונה לאחרונה יקטן באחד לא ידוע. במילים אחרות, עלינו לוודא שנקבל, נניח, שלוש משוואות: בראשון - שלוש לא ידועות, בשנייה - שתיים, בשלישית - אחת. ואז מהמשוואה האחרונה אנו מוצאים את הלא ידוע הראשון, מחליף את ערכו למשוואה השנייה או הראשונה ואז נמצא את שני המשתנים הנותרים.
כדי לשלוט בשיטה זו, היא חיוניתבעלי כישורים של חיבור, חיסור של מטריצות, ואתה גם צריך להיות מסוגל למצוא גורמים. לכן, אם אתה עושה את כל זה בצורה גרועה או שלא יודע איך בכלל, תצטרך ללמוד ולתרגל.
מה המהות של שיטה זו, וכיצד להפוך אותה כךהשיג מערכת של משוואות קרמר ליניאריות? הכל פשוט מאוד. עלינו לבנות מטריצה מתוך המקדמים המספריים (כמעט תמיד) של מערכת משוואות אלגבריות לינאריות. לשם כך, אנו פשוט לוקחים את המספרים מול האלמונים ומניחים אותם בטבלה לפי הסדר שהם נכתבים במערכת. אם יש סימן "-" מול המספר, רשום מקדם שלילי. אז ריכזנו את המטריצה הראשונה של המקדמים עבור הלא ידועים, לא כולל את המספרים אחרי הסימנים השווים (באופן טבעי, יש להפחית את המשוואה לצורה הקנונית, כאשר רק מספר נמצא בצד ימין, וכל הלא ידוע עם מקדמים נמצאים משמאל). אז עליך ליצור מספר מטריצות נוספות - אחת לכל משתנה. לשם כך, במטריצה הראשונה, בתורו, החלף כל עמודה במקדמים בעמוד המספרים אחרי סימן השוויון. לפיכך, אנו משיגים מספר מטריצות ואז מוצאים את הגורמים הקובעים שלהן.
לאחר שמצאנו את המוקדמות, המקרה לקָטָן. יש לנו מטריצה ראשונית, ויש כמה מטריצות שנוצרות המתאימות למשתנים שונים. כדי להשיג פתרונות מערכת, אנו מחלקים את הקובע של הטבלה המתקבלת על ידי הקובע של הטבלה הראשונית. המספר המתקבל הוא הערך של אחד המשתנים. באופן דומה, אנו מוצאים את כל הלא ידועים.
ישנן מספר שיטות נוספות עבורלקבל פיתרון למערכות משוואות ליניאריות. לדוגמא, שיטת גאוס-ג'ורדן כביכול, המשמשת למציאת פתרונות למערכת משוואות ריבועיות וקשורה גם לשימוש במטריצות. קיימת גם שיטת ג'ייקובי לפתרון מערכת של משוואות אלגבריות לינאריות. זה הכי קל להסתגל למחשב ומשמש במחשוב.
קושי בדרך כלל מתעורר אם מספר המשוואותפחות משתנים. אז נוכל לומר בוודאות או שהמערכת אינה תואמת (כלומר, אין לה שורשים), או שמספר הפתרונות שלה נוטה לאינסוף. אם יש לנו את המקרה השני, עלינו לרשום את הפתרון הכללי של מערכת משוואות ליניאריות. הוא יכיל לפחות משתנה אחד.
הנה אנחנו מגיעים לסוף.לסיכום: ניתחנו מהן מערכת ומטריקס, למדנו כיצד למצוא פיתרון כללי למערכת משוואות ליניאריות. בנוסף, נשקלו אפשרויות אחרות. גילינו כיצד נפתרת מערכת המשוואות הליניאריות: שיטת גאוס ושיטת קרמר. דיברנו על מקרים קשים ודרכים אחרות למצוא פתרונות.
למעשה, נושא זה הוא הרבה יותר נרחב, ואם אתה רוצה להבין אותו טוב יותר, אנו ממליצים לך לקרוא ספרות מיוחדת יותר.
