Paprasčiausia trigonometrijos funkcija y = Sin (x),kiekviename jos taške jis skiriasi nuo visos apibrėžimo srities. Būtina įrodyti, kad bet kurio argumento sinuso darinys yra lygus to paties kampo kosinusui, tai yra, '= Cos (x).
Įrodymai grindžiami išvestinės funkcijos apibrėžimu
Mes apibrėžiame x (savavališkai) mažoje konkretaus taško x kaimynystėje Δx0. Mes parodome funkcijos vertę joje ir taške x rasime duotos funkcijos prieaugį. Jei Δx yra argumento prieaugis, tada naujas argumentas yra x0+ Δx = x, šios funkcijos reikšmė nurodytai argumento y (x) reikšmei yra Sin (x0+ Δx), funkcijos reikšmė konkrečiame taške y (x0) taip pat yra žinomas.
Dabar mes turime Δy = Sin (x0+ Δx) -Sin (x0) Yra gautas funkcijos prieaugis.
Naudojant sinuso formulę, dviejų nevienodų kampų suma pakeis skirtumą у.
Δy = Sin (x0) Cos (Δx) + Cos (x0) Sin (Δx) atėmus Sin (x0) = (Kos (Δx) -1) Sin (x0) + Cos (x0) Nuodėmė (Δх).
Leido terminus, sugrupavo pirmąjį į trečiąjį Sin (x0), bendrąjį faktorių - sinusą - padėkite už skliaustų. Išraiškoje gautas skirtumas Cos (Δx) -1. Belieka pakeisti ženklą prieš laikiklį ir skliausteliuose. Žinodami, kas yra lygus 1-Cos (Δх), atliksime pakaitalą ir gausime supaprastintą išraišką Δу, kurią tada padalinsime iš Δх.
Δу / Δх bus tokios formos: Cos (x0) Nuodėmė (Δх) / Δх-2 Nuodėmė2(0,5 Δx) Nuodėmė (x0) / Δх. Tai funkcijos prieaugio ir leistino argumento prieaugio santykis.
Belieka rasti santykio lim ribą, kurią mes gavome ties Δx, linkusiu į nulį.
Yra žinoma, kad pagal šią sąlygą Sin (Δx) / Δx riba yra 1. Ir posakis 2 Nuodėmė2(0,5 Δх) / Δх gautame koeficiente susumuokimetransformacijos į sandaugą, kurioje yra pirmoji nepaprastoji riba kaip daugiklis: trupmenos skaitiklį ir nulius padalykite iš 2, sinuso kvadratą pakeiskite sandauga. Kaip šitas:
(Nuodėmė (0,5 Δx) / (0,5 Δx)) Nuodėmė (Δx / 2).
Šios išraiškos riba, kai Δx linksta į nulį, bus lygi nuliui (1 padauginta iš 0). Pasirodo, kad santykio Δy / Δх riba yra lygi Cos (x0) 1-0, tai yra Cos (x0), išraiška, kuri nepriklauso nuo Δx linkimo į 0. Taigi daroma išvada: bet kurio kampo x sinuso išvestinė yra lygi kosinusui x, mes ją rašome taip: y '= Cos (x).
Gauta formulė įrašoma į gerai žinomą darinių lentelę, kurioje surenkamos visos elementariosios funkcijos
Sprendžiant problemas, kur atsiranda išvestinėsine, galite naudoti diferenciacijos taisykles ir paruoštas formules iš lentelės. Pavyzdžiui: raskite paprasčiausios funkcijos y = 3 · Sin (x) -15 darinį. Mes naudosime elementarias diferenciacijos taisykles, pašalindami skaitinį veiksnį už išvestinės ženklo ir apskaičiuodami pastovaus skaičiaus išvestinę (ji lygi nuliui). Taikome kampo x sinuso išvestinės lentelės vertę, lygią Cos (x). Gauname atsakymą: y "= 3 · Cos (x) -O. Šis darinys savo ruožtu taip pat yra elementari funkcija y = 3 · Cos (x).
Sinusinis išvestinis kvadratas bet kurio argumento
Vertinant šią išraišką (nuodėmė2(x)) „būtina prisiminti, kaip diferencijuojama sudėtinga funkcija. Taigi y = nuodėmė2(x) - yra galios funkcija, nes sinusas yra kvadratas. Jo argumentas taip pat yra trigonometrinė funkcija, sudėtingas argumentas.Rezultatas šiuo atveju yra lygus sandaugai, kurios pirmasis veiksnys yra nurodyto kompleksinio argumento kvadrato vedinys, o antrasis - sinuso išvestinė. Taip atrodo funkcijos diferenciacijos nuo funkcijos taisyklė: (u (v (x))) "yra lygus (u (v (x)))" · (v (x)) ". Išraiška v ( x) yra sudėtingas argumentas (vidinė funkcija Jei pateikiama funkcija „žaidimas lygus sinuso kvadrtui x“, tai šios kompleksinės funkcijos išvestinė bus y “= 2 · Sin (x) · Cos (x). Produkte pirmasis padvigubintas veiksnys yra žinomos galios funkcijos išvestinė, o Cos (x) yra sinuso išvestinė, sudėtingos kvadratinės funkcijos argumentas. Galutinį rezultatą galima konvertuoti naudojant dvigubo kampo sinuso trigonometrinę formulę. Atsakymas: vedinys yra lygus Sin (2 x). Ši formulė yra lengvai įsimenama, ji dažnai naudojama kaip lentelė.
