Paprastas iteracijos metodas, dar vadinamas metoduvėlesnis derinimas - tai matematinis algoritmas, skirtas laipsniškai tobulinti nežinomo kiekio vertę. Šio metodo esmė yra ta, kad, kaip rodo pavadinimas, palaipsniui išreiškiant vėlesnius iš pradinio suderinimo, jie gauna daugiau ir daugiau rafinuotų rezultatų. Šis metodas naudojamas kintamojo vertės nustatymui tam tikroje funkcijoje, taip pat sprendžiant vienodų sistemų, tiek linijinių, tiek netiesinių, sistemas.
Apsvarstykite, kaip šis metodas įgyvendinamas sprendžiant SLAE. Paprastas iteracijos metodas turi tokį algoritmą:
1.Pirminės matricos konvergencijos būklės tikrinimas. Konvergencijos teorema: jei sistemos pradinė matrica turi įstrižainę (ty kiekvienoje eilutėje pagrindinio įstrižainės elementai turi būti absoliučiai didesni nei absoliutinių įstrižainių elementų suma), tada paprastų iteracijų metodas yra konvergencinis.
2Originalios sistemos matrica ne visada turi įstrižainę. Tokiais atvejais sistema gali būti pakeista. Lygtis, kurios atitinka konvergencijos sąlygą, lieka nepaliestos, o linijiniai deriniai yra nepatenkinami, t.y. dauginti, atimti, pridėti lygtis tarp jų, kad gautumėte norimą rezultatą.
Jei pagrindinėje įstrižainėje esančioje sistemoje yra nepatogių koeficientų, tada abiejose tokios lygties pusėse pridėti terminus suir* suir kurių ženklai turi sutapti su įstrižainių ženklais.
3. Konvertuokite gautą sistemą į įprastą vaizdą:
su-= β-+ α * x-
Tai galima padaryti daugeliu būdų, pavyzdžiui, tokiu būdu: išreikšti x iš pirmos lygties1 per kitus nežinomus asmenis2nuo trečiojo3 ir pan Tokiu atveju naudokite formulę:
αjai= - (ajai / aii)
ir= bir/ air
Dar kartą įsitikinkite, kad gauta normalios formos sistema atitinka konvergencijos sąlygą:
∑ (j = 1) | αjai| ≤ 1, su i = 1,2, ... n
4. Tiesą sakant, pradedame taikyti nuoseklių metodų metodą.
su(0)- pradinis suderinimas, išreiškiame x per jį(1), tada per x(1) išreikšti x(2). Bendra matricos rodinio formulė yra tokia:
su(n)= β-+ α * x(n-1)
Apskaičiuojame, kol pasiekiame reikiamą tikslumą:
max | xir(k) -xir(k + 1) ≤ ε
Taigi praktikoje imkime paprastą iteracijos metodą. Pavyzdys:
Išspręskite SLAE:
4.5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 su tikslumu ε = 10-3
Pažiūrėkime, ar modulyje vyrauja įstrižainės elementai.
Matome, kad tik trečioji lygtis atitinka konvergencijos sąlygą. Pirmąjį ir antrąjį lygius paverčiame antra, į pirmąją lygtį:
7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
Atimkite pirmąjį iš trečiojo:
-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2
Pradinę sistemą pavertėme lygiaverčiu:
7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4
Dabar mes atnešime sistemą į įprastą formą:
x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0,4762 + 0,6429x1-0,2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2
Patikrinkite iteracinio proceso konvergenciją:
0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, t.y. sąlyga įvykdyta.
0,3947
Pradinis suderinimas x(0) = 0,4762
0,8511
Pakeitus šias reikšmes į normalios formos lygtį, gaunamos šios vertės:
0,08835
su(vienas)= 0,486793
0,446639
Pakeisdami naujas vertes, gausime:
0,215243
su(2)= 0,405396
0,558336
Tęsiame skaičiavimus, kol priartėjame prie nurodytą sąlygą tenkinančių verčių.
0,18813
su(7)= 0,441091
0,544319
0,188002
su(8) = 0,44164
0,544428
Patikrinkime gautų rezultatų teisingumą:
4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1,1x * 0,544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977
Rezultatai, gauti pakeičiant rastas reikšmes į pradines lygtis, visiškai atitinka lygties sąlygas.
Kaip matome, paprastas iteracijos metodas duoda gana tikslius rezultatus, tačiau šiai lygčiai išspręsti teko skirti daug laiko ir sudėtingų skaičiavimų.
