De studie van de kansrekening begint met een oplossingproblemen met optellen en vermenigvuldigen van kansen. Het is de moeite waard om meteen te vermelden dat een student die dit kennisgebied onder de knie heeft, voor een probleem kan komen te staan: als fysische of chemische processen kunnen worden gevisualiseerd en empirisch begrepen, dan is het niveau van wiskundige abstractie erg hoog, en begrip komt hier alleen met ervaring.
De game is echter de kaars waard, omdat de formules - zowel de formules die in dit artikel worden besproken als de meer complexe - tegenwoordig overal worden gebruikt en mogelijk nuttig zijn op het werk.
Vreemd genoeg de aanzet voor de ontwikkeling hiervantakken van de wiskunde zijn ... gokken geworden. Inderdaad, dobbelstenen, toss, poker en roulette zijn typische voorbeelden die gebruik maken van optellen en vermenigvuldigen van kansen. Dit is duidelijk te zien aan het voorbeeld van taken in elk leerboek. Mensen waren geïnteresseerd in het leren hoe ze hun winkansen konden vergroten, en ik moet zeggen dat sommigen daarin zijn geslaagd.
Ondanks de toegenomen interesse inonderwerp, werd pas tegen de twintigste eeuw een theoretische basis ontwikkeld, waardoor de 'theoreticus' een volwaardig onderdeel van de wiskunde werd. Tegenwoordig kun je in bijna elke wetenschap berekeningen vinden met behulp van probabilistische methoden.
Een belangrijk punt bij het gebruik van optelformulesen vermenigvuldiging van kansen, de voorwaardelijke waarschijnlijkheid is de vervulling van de centrale limietstelling. Anders, hoewel de student zich hier misschien niet van bewust is, zijn alle berekeningen, hoe plausibel ze ook lijken, onjuist.
Ja, een zeer gemotiveerde student komt in de verleiding om bij elke gelegenheid gebruik te maken van nieuwe kennis. Maar in dit geval moet u een beetje vertragen en de reikwijdte van de toepasbaarheid strikt omschrijven.
Kansrekening behandelt willekeuriggebeurtenissen die, in empirische termen, de resultaten van experimenten vertegenwoordigen: we kunnen een dobbelsteen gooien met zes gezichten, een kaart uit de stapel trekken, het aantal defecte onderdelen in een batch voorspellen. Bij sommige vragen is het echter categorisch onmogelijk om formules uit dit gedeelte van de wiskunde te gebruiken. We zullen de kenmerken van het beschouwen van de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis, de stellingen van optellen en vermenigvuldigen van gebeurtenissen aan het einde van het artikel bespreken, maar voor nu zullen we kijken naar voorbeelden.
Een willekeurige gebeurtenis betekent ietseen proces of resultaat dat al dan niet verschijnt als resultaat van een experiment. We gooien bijvoorbeeld een boterham - het kan olie naar beneden of naar beneden vallen. Elk van de twee uitkomsten zal willekeurig zijn, en we weten niet van tevoren welke ervan zullen plaatsvinden.
Dergelijke evenementen worden joint genoemd, het uiterlijkeen daarvan sluit het uiterlijk van de ander niet uit. Laten we zeggen dat twee mensen tegelijkertijd op een doelwit schieten. Als een van hen een succesvol schot maakt, heeft dit geen invloed op het vermogen van de tweede om in de roos te schieten of te missen.
Dergelijke gebeurtenissen zullen inconsistent zijn, waarvan het voorkomen tegelijkertijd onmogelijk is. Als u bijvoorbeeld slechts één bal uit de doos haalt, kunt u niet zowel de blauwe als de rode tegelijk pakken.
De notie van waarschijnlijkheid wordt aangeduid met de Latijnse hoofdletter P. Verder staan tussen haakjes argumenten die bepaalde gebeurtenissen aanduiden.
In de formules van de optelstelling, voorwaardelijkwaarschijnlijkheden, vermenigvuldigingsstellingen, je ziet uitdrukkingen tussen haakjes, bijvoorbeeld: A + B, AB of A | B. Ze zullen op verschillende manieren worden berekend, we zullen ze nu bekijken.
Laten we eens kijken naar de gevallen waarin de formules voor optellen en vermenigvuldigen van kansen worden gebruikt.
Voor inconsistente gebeurtenissen is de eenvoudigste optelformule relevant: de kans op een van de willekeurige uitkomsten is gelijk aan de som van de kansen op elk van deze uitkomsten.
In het geval van inconsistente gebeurtenissen wordt de formule ingewikkelder, omdat er een extra term wordt toegevoegd. Laten we er in een alinea op terugkomen, nadat we een andere formule hebben overwogen.
Optellen en vermenigvuldigen van kansen op onafhankelijkgebeurtenissen worden in verschillende gevallen gebruikt. Als we volgens de voorwaarden van het experiment tevreden zijn met een van de twee mogelijke uitkomsten, zullen we het bedrag berekenen; als we twee bepaalde uitkomsten na elkaar willen krijgen, zullen we een andere formule gebruiken.
Terugkerend naar het voorbeeld uit de vorige sectie, wewe willen eerst de blauwe bal eruit halen, en dan de rode. Het eerste nummer dat we kennen is 2/10. Wat gebeurt er nu? Er zijn nog 9 ballen over, er zijn er nog evenveel rode - drie. Volgens berekeningen krijg je 3/9 of 1/3. Maar wat nu te doen met twee cijfers? Het juiste antwoord is om te vermenigvuldigen om 2/30 te krijgen.
Nu kunt u terugkeren naar de somformule voor gezamenlijke evenementen. Waarom zijn we afgedwaald van het onderwerp? Om erachter te komen hoe kansen worden vermenigvuldigd. Nu zal deze kennis nuttig voor ons zijn.
Laten we zeggen dat we een van de twee problemen moeten oplossen,om krediet te krijgen. We kunnen de eerste oplossen met een kans van 0,3 en de tweede - 0,6. Oplossing: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Merk op dat het opsommen van de cijfers hier niet voldoende is.
Ten slotte is er het concept van voorwaardelijke kans,waarvan de argumenten tussen haakjes staan en worden gescheiden door verticale balken. Het P (A | B) record luidt als volgt: "de waarschijnlijkheid van gebeurtenis A gegeven gebeurtenis B".
Laten we een voorbeeld bekijken: een vriend geeft je een apparaat, laat het een telefoon zijn. Het kan kapot (20%) of bruikbaar (80%) zijn. U kunt elk apparaat dat in uw handen is gevallen repareren met een kans van 0,4, of u kunt het niet (0,6). Ten slotte, als het apparaat in goede staat verkeert, kunt u de juiste persoon bereiken met een kans van 0,7.
Het is gemakkelijk in te zien hoe het zich in dit geval manifesteertvoorwaardelijke kans: u kunt een persoon niet bereiken als de telefoon kapot is en als deze bruikbaar is, hoeft u deze niet te repareren. Om resultaten op het "tweede niveau" te krijgen, moet u dus uitzoeken welke gebeurtenis op het eerste niveau is uitgevoerd.
Laten we eens kijken naar voorbeelden van het oplossen van problemen met optellen en vermenigvuldigen van kansen, met behulp van de gegevens uit de vorige paragraaf.
Laten we eerst eens kijken naar de kans dat urepareer het aan u gegeven apparaat. Om dit te doen, moet het ten eerste defect zijn en ten tweede moet u de reparatie uitvoeren. Dit is een typisch probleem bij gebruik van vermenigvuldiging: we krijgen 0,2 * 0,4 = 0,08.
Overweeg ten slotte deze optie: je kreeg een kapotte telefoon, repareerde deze, draaide een nummer en de andere persoon nam de telefoon op. Hier is de vermenigvuldiging van drie componenten al vereist: 0,2 * 0,4 * 0,7 = 0,056.
En wat u moet doen als u twee niet-werkende tegelijk heefttelefoon? Hoe waarschijnlijk is het dat u ten minste één van deze problemen oplost? Dit is een probleem bij het optellen en vermenigvuldigen van kansen, aangezien gedeelde gebeurtenissen worden gebruikt. Oplossing: 0,4 + 0,4 - 0,4 * 0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Dus als u twee kapotte apparaten in handen krijgt, zult u in 64% van de gevallen de reparatie aan.
Zoals vermeld aan het begin van het artikel, moet het gebruik van kansrekening weloverwogen en weloverwogen zijn.
Hoe groter de reeks experimenten, hoe dichterbijpast de theoretisch voorspelde waarde bij degene die in de praktijk wordt verkregen. We gooien bijvoorbeeld een munt op. Theoretisch kunnen we, wetende over het bestaan van formules voor het optellen en vermenigvuldigen van waarschijnlijkheden, voorspellen hoe vaak "kop" en "munt" zullen verschijnen als we het experiment 10 keer uitvoeren. We voerden een experiment uit, en bij toeval was de verhouding van de gedaalde zijden 3 op 7. Maar als we een reeks van 100, 1000 of meer pogingen uitvoeren, blijkt dat de distributiegrafiek dichter bij de theoretische komt: 44 tot 56, 482 tot 518, enzovoort.
Dus als u verwijst naarhet onbekende, het onontgonnen gebied, de kansrekening is misschien niet toepasbaar. Elke volgende poging kan in dit geval succesvol zijn en generalisaties zoals "X bestaat niet" of "X is onmogelijk" zullen voorbarig zijn.
We hebben dus twee soorten optellen overwogen: vermenigvuldigingen voorwaardelijke kansen. Terwijl u dit gebied verder verkent, moet u onderscheid leren maken tussen situaties waarin elke specifieke formule wordt gebruikt. Bovendien moet u begrijpen of probabilistische methoden algemeen toepasbaar zijn om uw probleem op te lossen.
