Oppgaver som fører til begrepet “dobbelt integral”.
- La et plant materiale gisplate ved hvilket punkt tetthet er kjent. Du må finne massen på denne platen. Siden denne platen har klare dimensjoner, kan den lukkes i et rektangel. Platenes tetthet kan også forstås som følger: på de punktene i rektangelet som ikke hører til platen, antar vi at tettheten er null. Vi definerer en ensartet partisjon i samme antall partikler. Dermed vil den gitte figuren bli delt inn i elementære rektangler. Tenk på en av disse rektanglene. Velg hvilket som helst punkt i dette rektangelet. På grunn av den lille størrelsen på et slikt rektangel, antar vi at tettheten på hvert punkt av dette rektanglet er en konstant verdi. Da vil massen til en slik rektangulær partikkel bestemmes som å multiplisere tettheten på dette punktet med området av rektanglet. Område er som kjent multiplikasjon av lengden på rektanglet med bredden. Og på koordinatplanet - dette er en endring i noen trinn. Da vil massen på hele platen være summen av massene til slike rektangler. Hvis vi i dette forholdet går til grensen, kan vi få det nøyaktige forholdet.
- Vi definerer en romlig kropp som er avgrensetopprinnelse og noe funksjon. Det er nødvendig å finne volumet til det indikerte kroppen. Som i forrige tilfelle deler vi regionen i rektangler. Vi antar at på punkter som ikke hører til regionen, vil funksjonen være 0. Tenk på en av de rektangulære partisjonene. Gjennom sidene av dette rektangelet tegner vi plan som er vinkelrett på aksene til abscissas og ordinater. Vi får en boks som er avgrenset under av et plan i forhold til applikasjonsaksen, og over av funksjonen som ble spesifisert i tilstanden til problemet. Velg et punkt midt på rektangelet. På grunn av den lille størrelsen på dette rektangelet, kan vi anta at funksjonen i dette rektanglet har en konstant verdi, da kan rektanglets volum beregnes. Og volumet på figuren vil være lik summen av alle volum av slike rektangler. For å få den nøyaktige verdien, må du gå til grensen.
Som det fremgår av de oppgitte oppgavene, konkluderer vi i hvert eksempel at forskjellige oppgaver fører til vurdering av doble summer av samme art.
Egenskaper til det doble integralet.
Поставим задачу.La en funksjon av to variabler bli gitt i et lukket domene, og den gitte funksjonen er kontinuerlig. Siden regionen er begrenset, kan du plassere den i et hvilket som helst rektangel som inneholder egenskapene til punktet for det gitte området. Del rektangelet i like deler. Vi kaller bruddets diameter den største diagonalen av de resulterende rektanglene. Nå velger vi et punkt innenfor grensene for et slikt rektangel. Hvis du finner verdien på dette punktet, legger du til summen, så vil en slik sum bli kalt integralen for funksjonen i det gitte området. Vi finner grensen for en slik integrert sum, under forholdene som diameteren på bruddet følger til 0, og antall rektangler til uendelig. Hvis en slik grense eksisterer og ikke avhenger av metoden for å dele regionen i rektangler og på valget av et punkt, kalles det et dobbelt integral.
Det geometriske innholdet i dobbeltintegralet: dobbeltintegralet er numerisk lik kroppens volum, som ble beskrevet i oppgave 2.
Når du kjenner til dobbeltintegralet (definisjon), kan du stille inn følgende egenskaper:
- Konstanten kan tas ut av integralets tegn.
- Integralet av summen (forskjellen) er lik summen (forskjellen) av integralene.
- Av funksjonene vil mindre være den hvis doble integral er mindre.
- Modulen kan introduseres under det doble integrerte tegnet.
