Trójkąt, kwadrat, sześciokąt - te figurysą znane prawie każdemu. Ale nie wszyscy wiedzą, czym jest wielokąt foremny. Ale to są te same kształty geometryczne. Wielokąt foremny to taki, który ma równe kąty i boki. Takich figur jest bardzo dużo, ale wszystkie mają te same właściwości i odnoszą się do nich te same formuły.
Dowolny wielokąt foremny, czy to kwadratlub ośmiokąt, może być wpisany w okrąg. Ta podstawowa właściwość jest często używana podczas konstruowania kształtu. Dodatkowo okrąg można wpisać w wielokąt. W takim przypadku liczba punktów styku będzie równa liczbie jego boków. Ważne jest, aby okrąg wpisany w wielokąt foremny miał ze sobą wspólny środek. Te figury geometryczne podlegają tym samym twierdzeniom. Każda strona regularnego n-kąta jest powiązana z promieniem opisanego okręgu R. W związku z tym można go obliczyć za pomocą następującego wzoru: a = 2R ∙ sin180 °. Przez promień okręgu można znaleźć nie tylko boki, ale także obwód wielokąta.
Trójkąt równoboczny jest prawidłowywielokąt. Wzory stosują się do niego tak samo jak do kwadratu i n-kąta. Trójkąt zostanie uznany za prawidłowy, jeśli ma boki tej samej długości. W tym przypadku kąty są równe 60⁰. Skonstruujmy trójkąt o określonej długości boku a. Znając jego medianę i wysokość, możesz znaleźć znaczenie jego boków. Aby to zrobić, użyjemy metody znajdowania za pomocą wzoru a = x: cosα, gdzie x jest medianą lub wysokością. Ponieważ wszystkie boki trójkąta są równe, otrzymujemy a = b = c. Wtedy prawdziwe będzie następujące stwierdzenie a = b = c = x: cosα. Podobnie możesz znaleźć wartość boków w trójkącie równoramiennym, ale x będzie daną wysokością. W takim przypadku musi być rzutowany ściśle na podstawę figury. Znając wysokość x, znajdujemy bok a trójkąta równoramiennego ze wzoru a = b = x: cosα. Po znalezieniu wartości a możesz obliczyć długość podstawy c. Zastosujmy twierdzenie Pitagorasa. Poszukamy wartości połowy podstawy c: 2 = √ (x: cosα) ^ 2 - (x ^ 2) = √x ^ 2 (1 - cos ^ 2α): cos ^ 2α = x ∙ tgα. Wtedy c = 2xtgα. W tak prosty sposób można znaleźć liczbę boków dowolnego wpisanego wielokąta.
Jak każdy inny wpisany poprawniewielokąt, kwadrat ma równe boki i kąty. Stosują się do niego te same formuły, co do trójkąta. Możesz obliczyć boki kwadratu, używając wartości przekątnej. Rozważmy tę metodę bardziej szczegółowo. Wiadomo, że przekątna dzieli kąt na pół. Początkowo jego wartość wynosiła 90 stopni. W ten sposób po podzieleniu powstają dwa trójkąty prostokątne. Ich kąty bazowe wyniosą 45 stopni. W związku z tym każdy bok kwadratu będzie równy, czyli: a = b = c = q = e ∙ cosα = e√2: 2, gdzie e jest przekątną kwadratu lub podstawą trójkąta prostokątnego powstały po podzieleniu. To nie jedyny sposób na znalezienie boków kwadratu. Wpiszmy ten kształt w okrąg. Znając promień tego okręgu R, znajdujemy bok kwadratu. Obliczymy to w następujący sposób a4 = R√2. Promienie wielokątów foremnych są obliczane ze wzoru R = a: 2tg (360o: 2n), gdzie a jest długością boku.
Obwód n-kąta jest sumą wszystkichimprezy. Obliczenie tego nie jest trudne. Aby to zrobić, musisz znać znaczenie wszystkich stron. Istnieją specjalne wzory dla niektórych typów wielokątów. Pozwalają znacznie szybciej znaleźć obwód. Wiadomo, że każdy wielokąt foremny ma równe boki. Dlatego, aby obliczyć jego obwód, wystarczy znać przynajmniej jeden z nich. Formuła będzie zależeć od liczby boków kształtu. Ogólnie wygląda to tak: P = an, gdzie a to wartość boku, a n to liczba kątów. Na przykład, aby znaleźć obwód ośmiokąta foremnego o boku 3 cm, należy go pomnożyć przez 8, czyli P = 3 ∙ 8 = 24 cm.Dla sześciokąta o boku 5 cm, obliczyć w następujący sposób: P = 5 ∙ 6 = 30 cm I tak dla każdego wielokąta.
W zależności od tego, ile stronwielokąt foremny, obliczany jest jego obwód. To znacznie ułatwia zadanie. Rzeczywiście, w przeciwieństwie do innych figur, w tym przypadku nie trzeba szukać wszystkich jego stron, wystarczy jedna. Na tej samej zasadzie znajdujemy obwód czworokątów, czyli kwadrat i romb. Pomimo tego, że są to różne liczby, wzór na nie jest taki sam P = 4a, gdzie a jest bokiem. Podajmy przykład. Jeśli bok rombu lub kwadratu ma 6 cm, obwód znajdujemy w następujący sposób: P = 4 ∙ 6 = 24 cm Tylko przeciwne boki równoległoboku są równe. Dlatego jego obwód znajduje się inną metodą. Musimy więc znać długość a i szerokość na rysunku. Następnie stosujemy wzór P = (a + b) ∙ 2. Równoległobok, w którym wszystkie boki i kąty między nimi są równe, nazywamy rombem.
Obwód regularnego trójkąta równobocznegomożna znaleźć wzorem P = 3a, gdzie a jest długością boku. Jeśli jest nieznany, można go znaleźć poprzez medianę. W trójkącie prostokątnym tylko dwa boki mają jednakowe znaczenie. Podstawę można znaleźć poprzez twierdzenie Pitagorasa. Po poznaniu wartości wszystkich trzech stron obliczamy obwód. Można go znaleźć, stosując wzór P = a + b + c, gdzie a i b są równymi bokami, a c jest podstawą. Przypomnij sobie, że w trójkącie równoramiennym a = b = a, więc a + b = 2a, a następnie P = 2a + c. Na przykład, jeśli bok trójkąta równoramiennego ma 4 cm, znajdziemy jego podstawę i obwód. Obliczamy wartość przeciwprostokątnej za pomocą twierdzenia Pitagorasa z = √a2 + w2 = √16 + 16 = √32 = 5,65 cm Teraz obliczamy obwód P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.
Oczywiście istnieje kilka sposobów na znalezienie zakrętów.wielokąty. Najczęściej oblicza się je w stopniach. Ale możesz też wyrazić je w radianach. Jak to zrobić? Musisz postępować w następujący sposób. Najpierw określamy liczbę boków wielokąta foremnego, a następnie odejmujemy 2. Tak więc otrzymujemy wartość: n - 2. Pomnóż znalezioną różnicę przez liczbę n ("pi" = 3,14). Teraz pozostaje tylko podzielić otrzymany iloczyn przez liczbę kątów w n-kącie. Rozważ te obliczenia na przykładzie tego samego sześciokąta. Tak więc liczba n to 15. Zastosujmy wzór S = n (n - 2): n = 3,14 (15 - 2): 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. To oczywiście nie jedyny sposób obliczania kąta w radianach. Możesz po prostu podzielić kąt w stopniach przez 57,3. W końcu dokładnie tyle stopni odpowiada jednemu radianowi.
Oprócz stopni i radianów wartość kątówwielokąt foremny można znaleźć w gradach. Odbywa się to w następujący sposób. Odejmij 2 od całkowitej liczby kątów, podziel wynikową różnicę przez liczbę boków wielokąta foremnego. Znaleziony wynik mnożymy przez 200. Nawiasem mówiąc, taka jednostka miary kątów, jak stopnie, praktycznie nie jest używana.
Dowolny regularny wielokąt z wyjątkiemwewnętrzny, można również obliczyć kąt zewnętrzny. Jego znaczenie znajduje się w taki sam sposób, jak w przypadku pozostałych figur. Tak więc, aby znaleźć zewnętrzny róg wielokąta foremnego, musisz znać wartość wewnętrznego. Co więcej, wiemy, że suma tych dwóch kątów zawsze wynosi 180 stopni. Dlatego obliczenia wykonujemy następująco: 180⁰ minus wartość kąta wewnętrznego. Znajdź różnicę. Będzie równy wartości kąta sąsiedniego. Na przykład wewnętrzny róg kwadratu ma 90 stopni, więc na zewnątrz będzie 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Jak widać, nie jest trudno go znaleźć. Kąt zewnętrzny może przyjmować odpowiednio wartość od +180⁰ do -180⁰.
