Problemas que levam ao conceito de "integral duplo".
- Deixe um material planoplaca, em cada ponto cuja densidade é conhecida. Precisamos encontrar a massa deste prato. Uma vez que esta placa tem dimensões claras, ela pode ser encerrada em um retângulo. A densidade da placa também pode ser entendida da seguinte forma: nos pontos do retângulo que não pertencem à placa, assumiremos que a densidade é zero. Vamos definir uma partição uniforme no mesmo número de partículas. Assim, a forma fornecida será dividida em retângulos elementares. Considere um desses retângulos. Selecione qualquer ponto deste retângulo. Devido ao pequeno tamanho de tal retângulo, assumiremos que a densidade em cada ponto desse retângulo é um valor constante. Então, a massa de tal partícula retangular será determinada como a multiplicação da densidade neste ponto pela área do retângulo. Área, como você sabe, é a multiplicação do comprimento de um retângulo por sua largura. E no plano de coordenadas, esta é uma mudança com um certo passo. Então, a massa de toda a placa será a soma das massas desses retângulos. Se você for até a borda nesta proporção, poderá obter a proporção exata.
- Vamos definir um corpo espacial, que é limitadoa origem e alguma função. Você precisa encontrar o volume do corpo especificado. Como no caso anterior, divida a área em retângulos. Vamos supor que em pontos que não pertencem à região, a função será igual a 0. Considere uma das partições retangulares. Desenhe planos através dos lados deste retângulo que são perpendiculares à abscissa e aos eixos das ordenadas. Obtemos um paralelepípedo, que é delimitado por baixo por um plano em relação ao eixo aplicado e por cima pela função especificada na definição do problema. Selecione um ponto no meio do retângulo. Devido ao pequeno tamanho deste retângulo, podemos assumir que a função dentro deste retângulo tem um valor constante, então o volume do retângulo pode ser calculado. E o volume da figura será igual à soma de todos os volumes de tais retângulos. Para obter o valor exato, você precisa ir até a fronteira.
Como pode ser visto nas tarefas, em cada exemplo chegamos à conclusão de que tarefas diferentes levam à consideração de somas duplas da mesma forma.
Propriedades integrais duplas.
Vamos definir a tarefa.Deixe uma função de duas variáveis ser dada em algum domínio fechado, e a função dada é contínua. Como a área é limitada, você pode colocá-la em qualquer retângulo que contenha completamente as propriedades de um ponto em uma determinada área. Divida o retângulo em partes iguais. Vamos chamar o diâmetro da partição de maior diagonal dos retângulos resultantes. Vamos agora selecionar um ponto dentro dos limites de um retângulo. Se você encontrar o valor neste ponto para somar a soma, essa soma será chamada de integral para a função na área fornecida. Vamos encontrar o limite dessa soma integral, sob as condições em que o diâmetro da divisão segue para 0, e o número de retângulos - para o infinito. Se esse limite existe e não depende do método de divisão da área em retângulos e da escolha de um ponto, é chamado de integral dupla.
Conteúdo geométrico do integral duplo: o integral duplo é numericamente igual ao volume do corpo, que foi descrito no problema 2.
Conhecendo a integral dupla (definição), você pode definir as seguintes propriedades:
- A constante pode ser retirada do sinal integral.
- A integral da soma (diferença) é igual à soma (diferença) das integrais.
- A função menor será aquela cujo integral duplo é menor.
- O módulo pode ser inserido sob o sinal de integral duplo.
