Problémy, ktoré vedú k konceptu „dvojitého integrálu“.
- Nechajte rovinnú hmotuplatňa, v každom bode ktorej je známa hustota. Musíme nájsť hmotu tohto taniera. Pretože má tento štítok jasné rozmery, je možné ho uzavrieť do obdĺžnika. Hustotu platne môžeme chápať aj nasledovne: v tých bodoch obdĺžnika, ktoré na platňu nepatria, budeme predpokladať, že hustota je nulová. Nastavíme jednotnú priečku na rovnaký počet častíc. Daný tvar sa teda rozdelí na elementárne obdĺžniky. Zvážte jeden z týchto obdĺžnikov. Vyberte ľubovoľný bod tohto obdĺžnika. Kvôli malej veľkosti takého obdĺžnika budeme predpokladať, že hustota v každom bode tohto obdĺžnika je konštantná hodnota. Potom sa hmotnosť takej obdĺžnikovej častice určí ako násobenie hustoty v tomto bode plochou obdĺžnika. Plocha, ako viete, je násobenie dĺžky obdĺžnika jeho šírkou. A v súradnicovej rovine ide o zmenu s určitým krokom. Potom bude hmotnosť celej dosky súčtom hmotností takýchto obdĺžnikov. Ak pôjdete k hranici v tomto pomere, môžete získať presný pomer.
- Definujme priestorové teleso, ktoré je obmedzenépôvod a niektoré funkcie. Musíte nájsť objem zadaného tela. Rovnako ako v predchádzajúcom prípade rozdeľte oblasť na obdĺžniky. Budeme predpokladať, že v bodoch, ktoré nepatria do oblasti, sa funkcia bude rovnať 0. Zvážte jeden z obdĺžnikových oddielov. Nakreslite roviny po stranách tohto obdĺžnika, ktoré sú kolmé na os úsečky a osi. Získame rovnobežnosten, ktorý je zospodu ohraničený rovinou vzhľadom na os aplikovaného a zhora funkciou, ktorá bola špecifikovaná v problémovom výpise. Vyberte bod v strede obdĺžnika. Vzhľadom na malú veľkosť tohto obdĺžnika môžeme predpokladať, že funkcia v tomto obdĺžniku má konštantnú hodnotu, potom je možné vypočítať objem obdĺžnika. A objem obrázku sa bude rovnať súčtom všetkých objemov takýchto obdĺžnikov. Ak chcete získať presnú hodnotu, musíte ísť k hranici.
Ako vidno z úloh, v každom príklade prídeme k záveru, že rôzne úlohy vedú k uvažovaniu o dvojnásobných sumách rovnakej formy.
Dvojité integrálne vlastnosti.
Stanovme si úlohu.Nech je v nejakej uzavretej doméne daná funkcia dvoch premenných, a daná funkcia je spojitá. Pretože je oblasť obmedzená, môžete ju umiestniť do ľubovoľného obdĺžnika, ktorý úplne obsahuje vlastnosti bodu v danej oblasti. Obdĺžnik rozdelíme na rovnaké časti. Hovorme priemer priečky najväčšia uhlopriečka výsledných obdĺžnikov. Vyberme teraz bod v medziach jedného takého obdĺžnika. Ak v tomto bode nájdete hodnotu na sčítanie súčtu, potom sa takýto súčet bude nazývať integrálom pre funkciu v danej oblasti. Nájdeme hranicu takéhoto integrálneho súčtu za podmienok, že priemer rozdelenia bude nasledovať do 0 a počet obdĺžnikov - do nekonečna. Ak takáto hranica existuje a nezávisí od spôsobu rozdelenia oblasti na obdĺžniky a od výberu bodu, potom sa nazýva dvojitý integrál.
Geometrický obsah dvojitého integrálu: dvojitý integrál sa číselne rovná objemu tela, ktorý bol popísaný v úlohe 2.
Ak poznáte dvojitý integrál (definíciu), môžete nastaviť nasledujúce vlastnosti:
- Konštantu možno vyňať z integrálneho znamienka.
- Integrál súčtu (rozdielu) sa rovná súčtu (rozdielu) integrálov.
- Menšou funkciou bude tá, ktorej dvojitý integrál je menší.
- Do modulu je možné vstúpiť pod dvojitým integrálnym znakom.
