Už v škole sme každý študovali rovnice apravdepodobne sústava rovníc. Ale nie veľa ľudí vie, že existuje niekoľko spôsobov, ako ich vyriešiť. Dnes budeme podrobne analyzovať všetky metódy riešenia systému lineárnych algebraických rovníc, ktoré pozostávajú z viac ako dvoch rovností.
Dnes je známe, že umenievyriešiť rovnice a ich systémy pochádzajúce zo starovekého Babylonu a Egypta. Rovnosti v ich obvyklej podobe sa však objavili po objavení sa znamienka rovnosti „=“, ktoré zaviedol v roku 1556 anglický matematik Record. Mimochodom, toto znamenie bolo vybrané z dôvodu: znamená to dva rovnobežné rovnaké segmenty. V skutočnosti neexistuje lepší príklad rovnosti.
Zakladateľ modernej abecedyneznámy zápis a znaky stupňa je francúzsky matematik François Viet. Jeho označenia sa však výrazne líšili od tých dnešných. Napríklad označil štvorec neznámeho čísla písmenom Q (latinsky „quadratus“) a kocku písmenom C (latinsky „cubus“). Táto notácia sa teraz zdá byť nepríjemná, ale potom to bol najrozumnejší spôsob písania systémov lineárnych algebraických rovníc.
Nevýhodou však boli vtedajšie spôsoby riešeniabolo, že matematici považovali iba pozitívne korene. Možno je to spôsobené tým, že záporné hodnoty nemali praktické uplatnenie. Tak či onak, boli to talianski matematici Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano a Rafael Bombelli, ktorí ako prví začali uvažovať o negatívnych koreňoch v 16. storočí. A moderná forma, hlavná metóda riešenia kvadratických rovníc (prostredníctvom diskriminátora), bola vytvorená až v 17. storočí vďaka dielam Descarta a Newtona.
Švajčiarsky matematik z 18. storočia GabrielKramer našiel nový spôsob, ako uľahčiť riešenie systémov lineárnych rovníc. Táto metóda bola po ňom pomenovaná neskôr a dodnes ju používame. O Cramerovej metóde si ale povieme niečo neskôr, ale nateraz sa budeme venovať lineárnym rovniciam a metódam ich riešenia oddelene od systému.
Lineárne rovnice sú najjednoduchšie rovnosti s premennou (premennými). Sú klasifikované ako algebraické. Lineárne rovnice sú písané vo všeobecnej podobe nasledovne: a1* X1+ a2 *s2+ ... an* Xn= b. Pri ďalšej kompilácii systémov a matíc budeme potrebovať ich zastúpenie v tejto podobe.
Definícia tohto pojmu je nasledovná:je to súbor rovníc, ktoré majú spoločné neznáme a spoločné riešenie. Spravidla sa v škole všetko riešilo systémami s dvoma alebo dokonca tromi rovnicami. Existujú však systémy so štyrmi alebo viacerými komponentmi. Poďme najskôr na to, ako si ich zapísať, aby bolo v budúcnosti pohodlné ich riešenie. Po prvé, systémy lineárnych algebraických rovníc budú vyzerať lepšie, ak budú všetky premenné napísané ako x s príslušným indexom: 1,2,3 a tak ďalej. Po druhé, všetky rovnice by sa mali zredukovať na kanonickú formu: a1* X1+ a2 *s2+ ... an* Xn= b.
Po všetkých týchto krokoch môžeme začať hovoriť, ako nájsť riešenie systémov lineárnych rovníc. Matice sú na to veľmi užitočné.
Matica je tabuľka, ktorá sa skladá z riadkov astĺpy a na ich priesečníku sú jeho prvky. Môžu to byť buď konkrétne hodnoty, alebo premenné. Najčastejšie sa na označenie prvkov pod nimi umiestňujú dolné indexy (napríklad a11 alebo a23). Prvý index je číslo riadku a druhý je stĺpec. Na maticiach, ako aj na iných matematických prvkoch je možné vykonávať rôzne operácie. Môžete teda:
1) Odčítajte a pridajte tabuľky rovnakej veľkosti.
2) Vynásobte maticu akýmkoľvek číslom alebo vektorom.
3) Transpozícia: transformujte riadky matice na stĺpce a stĺpce na riadky.
4) Vynásobte matice, ak sa počet riadkov jedného z nich rovná počtu stĺpcov druhého.
O všetkých týchto technikách sa budeme podrobnejšie rozprávať, pretože o nichbudú pre nás užitočné v budúcnosti. Odčítanie a sčítanie matíc je veľmi jednoduché. Pretože vezmeme matice rovnakej veľkosti, každý prvok jednej tabuľky zodpovedá každému prvku druhej. Sčítame teda (odčítame) tieto dva prvky (je dôležité, aby vo svojich maticiach stáli na rovnakých miestach). Pri vynásobení matice číslom alebo vektorom stačí vynásobiť každý prvok matice týmto číslom (alebo vektorom). Transpozícia je veľmi zaujímavý proces. Je veľmi zaujímavé niekedy to vidieť v reálnom živote, napríklad pri zmene orientácie tabletu alebo telefónu. Ikony na pracovnej ploche sú matricové a pri zmene polohy sa transponujú a stanú sa širšími, ale zmenšujú sa do výšky.
Analyzujme tiež taký proces ako je násobenie matíc.Aj keď to pre nás nebude užitočné, bude užitočné vedieť to. Dve matice môžete znásobiť, iba ak sa počet stĺpcov v jednej tabuľke rovná počtu riadkov v druhej. Teraz vezmeme prvky riadku jednej matice a prvky zodpovedajúceho stĺpca druhého. Násobíme ich navzájom a potom pridávame (to je napríklad súčin prvkov a11 a a12 na b12 a b22 sa bude rovnať: a11* b12 + a12* b22). Takto sa získa jeden prvok tabuľky a podobnou metódou sa vyplní ďalej.
Teraz môžeme začať uvažovať o tom, ako je riešený systém lineárnych rovníc.
Táto téma sa začína odohrávať v škole. Sme si dobre vedomí konceptu „systému dvoch lineárnych rovníc“ a sme schopní ich vyriešiť. Čo však v prípade, že počet rovníc je viac ako dve? V tomto nám pomôže Gaussova metóda.
Táto metóda je samozrejme vhodná na použitie, ak zo systému vytvoríte maticu. Ale nemôžete to transformovať a vyriešiť v tej najčistejšej podobe.
Aký je teda systém lineárnyGaussove rovnice? Mimochodom, aj keď je táto metóda pomenovaná po ňom, bola objavená už v staroveku. Gauss navrhuje nasledovné: vykonať operácie s rovnicami, aby sa nakoniec zmenšila celá množina na postupnú formu. To znamená, že je potrebné, aby zhora nadol (ak je správne umiestnené) od prvej rovnice k poslednej klesala v jednej neznámej. Inými slovami, musíme sa uistiť, že dostaneme povedzme tri rovnice: v prvej - tri neznáme, v druhej - dve, v tretej - jedna. Potom z poslednej rovnice nájdeme prvú neznámu, dosadíme jej hodnotu do druhej alebo prvej rovnice a potom nájdeme zvyšné dve premenné.
Pre zvládnutie tejto metódy je nevyhnutnéovládať schopnosti sčítania a odčítania matíc a musíte tiež vedieť nájsť determinanty. Preto, ak to všetko robíte zle alebo vôbec neviete ako, budete sa musieť učiť a cvičiť.
Čo je podstatou tejto metódy a ako ju urobiť tak, abyzískal systém lineárnych Kramerových rovníc? Všetko je veľmi jednoduché. Maticu musíme zostaviť z numerických (takmer vždy) koeficientov systému lineárnych algebraických rovníc. Aby sme to dosiahli, jednoducho vezmeme čísla pred neznáme a umiestnime ich do tabuľky v poradí, v akom sú zapísané v systéme. Ak je pred číslom znak „-“, zapíšte si záporný koeficient. Zostavili sme teda prvú maticu koeficientov pre neznáme, bez čísel za znamienkami rovnosti (rovnicu je samozrejme potrebné zredukovať na kanonický tvar, keď je vpravo iba číslo, a všetky neznáme s koeficientmi) sú vľavo). Potom musíte vytvoriť niekoľko ďalších matíc - jednu pre každú premennú. Za týmto účelom v prvej matici zase nahraďte každý stĺpec koeficientmi stĺpcom čísel za znamienkom rovnosti. Získame teda niekoľko matíc a potom nájdeme ich determinanty.
Potom, čo sme našli kvalifikáciu, prípad premalý. Máme počiatočnú maticu a existuje niekoľko výsledných matíc, ktoré zodpovedajú rôznym premenným. Na získanie systémových riešení vydelíme determinant výslednej tabuľky determinantom počiatočnej tabuľky. Výsledné číslo je hodnota jednej z premenných. Podobne nájdeme všetky neznáme.
Existuje niekoľko ďalších metód prezískať riešenie systémov lineárnych rovníc. Napríklad takzvaná Gauss-Jordanova metóda, ktorá sa používa na hľadanie riešení systému kvadratických rovníc a je spojená aj s používaním matíc. Existuje tiež Jacobiho metóda na riešenie systému lineárnych algebraických rovníc. Je najjednoduchšie prispôsobiť sa počítaču a používa sa pri výpočtovej technike.
Obtiažnosť zvyčajne nastane, ak počet rovnícmenej premenných. Potom môžeme s istotou povedať, že buď je systém nekompatibilný (to znamená, že nemá korene), alebo počet jeho riešení má tendenciu byť nekonečný. Ak máme druhý prípad, musíme si zapísať všeobecné riešenie sústavy lineárnych rovníc. Bude obsahovať najmenej jednu premennú.
Tu prichádzame na koniec.Ak to zhrnieme: analyzovali sme, čo je systém a matica, naučili sme sa hľadať všeobecné riešenie systému lineárnych rovníc. Okrem toho sa zvažovali ďalšie možnosti. Zistili sme, ako je riešený systém lineárnych rovníc: Gaussova metóda a Cramerova metóda. Hovorili sme o zložitých prípadoch a iných spôsoboch hľadania riešení.
Táto téma je v skutočnosti oveľa rozsiahlejšia a ak jej chcete lepšie porozumieť, odporúčame vám prečítať si viac odbornej literatúry.
