Derivat av någon funktion f (x) i en specifikpunkt x0 kallas gränsen för förhållandet mellan funktionens inkrement och argumentets inkrement, förutsatt att x följer till 0, och gränsen existerar. Derivatet betecknas vanligtvis med en prime, ibland med en punkt eller genom en differentiell. Derivat över gränsen är ofta vilseledande eftersom en sådan representation sällan används.
En funktion som har ett derivat i ett visstpunkt x0, kallas differentierbar vid en sådan punkt. Anta att D1 är den uppsättning punkter där funktionen f är differentierad. Tilldelar vi varje nummer ett nummer x som tillhör D f '(x), får vi en funktion med noteringen D1. Denna funktion är derivatet av y = f (x). Det betecknas på följande sätt: f '(x).
Dessutom används derivatet i stor utsträckningfysik och teknik. Tänk på det enklaste exemplet. Den materiella punkten rör sig rakt längs koordinaten, med vilken rörelselagen specificeras, det vill säga x-koordinaten för denna punkt är den välkända funktionen x (t). Under tidsintervallet från t0 till t0 + t är rörelsens punkt rörelse x (t0 + t) -x (t0) = x, och dess medelhastighet v (t) är x / t.
Ibland presenteras rörelsens natur på ett sådant sätt att vidunder korta perioder ändras inte medelhastigheten, vilket innebär att rörelsen med större noggrannhet anses vara enhetlig. Eller värdet på medelhastigheten, om t0 följer till något absolut exakt värde, som kallas den momentana hastigheten v (t0) för denna punkt vid en viss tidpunkt t0. Man tror att den momentana hastigheten v (t) är känd för vilken som helst differentierad funktion x (t), varigenom v (t) kommer att vara lika med x '(t). Enkelt uttryckt är hastighet tidsderivatet för en koordinat.
Den momentana hastigheten har både positiv ochnegativa värden, liksom värdet 0. Om det är positivt vid något tidsintervall (t1; t2), rör sig punkten i samma riktning, det vill säga koordinaten x (t) ökar med tiden, och om v (t) är negativ, då koordinaten x (t) minskar.
I svårare fall rör sig punkten i ett plan eller i rymden. Då är hastigheten en vektormängd och bestämmer var och en av koordinaterna för vektorn v (t).
På samma sätt kan jämföras med accelerationpunktrörelse. Hastighet är en funktion av tiden, det vill säga v = v (t). Och derivatet av en sådan funktion är accelerationen av rörelse: a = v ’(t). Det visar sig att tidsderivatet av hastighet är acceleration.
Antag att y = f (x) är någon differentieradfungera. Sedan kan du överväga rörelsen av en materiell punkt längs en koordinatlinje, som sker bakom lagen x = f (t). Derivatets mekaniska innehåll gör det möjligt att presentera en visuell tolkning av satserna för differentiell kalkyl.
Hur hittar jag ett derivat? Att hitta derivatet av någon funktion kallas dess differentiering.
Här är några exempel på hur du hittar den härledda funktionen:
Derivat av en konstant funktion är noll; derivatet av funktionen y = x är lika med en.
Hur hittar du derivatet av en bråkdel? För att göra detta, överväga följande material:
För alla x0 <> 0 har vi
y / x = -1 / x0 * (x + x)
Det finns flera regler för att hitta ett derivat. Nämligen:
Om funktionerna A och B är differentierade vid punkten x0,då differentieras deras summa vid punkten: (A + B) ’= A’ + B ’. Enkelt uttryckt är derivatet av en summa lika med summan av derivaten. Om funktionen är differentierad någon gång, följer dess tillväxt till noll när inkrementet av argumentet följer till noll.
Om funktionerna A och B är differentierade vid punkten x0,sedan differentieras deras produkt vid punkten: (A * B) '= A'B + AB'. (Värdena på funktioner och deras derivat beräknas vid punkten x0). Om funktionen A (x) är differentierad vid punkten x0 och C är konstant, så är funktionen CA differentierad vid denna punkt och (CA) '= CA'. Det vill säga en sådan konstant faktor tas ur derivatets tecken.
Om funktionerna A och B är differentierade vid punkten x0 och funktionen B inte är lika med noll, är deras förhållande också differentierad vid punkten: (A / B) '= (A'B-AB') / B * B.
