Dubbel integral. Uppgifter. Egenskaperna

Uppgifter som leder till begreppet ”dubbel integral”.

1. Låt ett planmaterialplan gesplattan vid vilken punkt densitet är känd. Du måste hitta massan på den här plattan. Eftersom denna platta har tydliga dimensioner kan den förslutas i en rektangel. Plåtens densitet kan också förstås enligt följande: vid de punkter i rektangeln som inte hör till plattan antar vi att densiteten är noll. Vi definierar en enhetlig partition i samma antal partiklar. Således kommer den givna figuren att delas upp i elementära rektanglar. Tänk på en av dessa rektanglar. Välj vilken punkt som helst i denna rektangel. På grund av den lilla storleken på en sådan rektangel antar vi att densiteten vid varje punkt i denna rektangel är ett konstant värde. Sedan kommer massan hos en sådan rektangulär partikel att definieras som multiplikationen av densiteten vid denna punkt med rektangelns area. Område är, som ni vet, multiplikationen av rektangelns längd med bredden. Och på koordinatplanet - detta är en förändring i vissa steg. Då blir massan på hela plattan summan av massorna av sådana rektanglar. Om vi ​​i detta förhållande går till gränsen, kan vi få det exakta förhållandet.
2. Зададим пространственное тело, которое ограничено ursprung och viss funktion. Det är nödvändigt att hitta volymen på den indikerade kroppen. Som i föregående fall delar vi upp regionen i rektanglar. Vi antar att vid punkter som inte tillhör regionen kommer funktionen att vara 0. Betrakta en av de rektangulära partitionerna. Genom sidorna på denna rektangel drar vi plan som är vinkelräta mot abcissas och ordinats axlar. Vi får en ruta som avgränsas nedan av ett plan i förhållande till applikatorns axel, och ovan av den funktion som anges i villkoren för problemet. Välj en punkt i mitten av rektangeln. På grund av den lilla storleken på denna rektangel kan vi anta att funktionen i denna rektangel har ett konstant värde, då kan rektangelns volym beräknas. Och figurens volym kommer att vara lika med summan av alla volymer av sådana rektanglar. För att få exakt värde måste du gå till gränsen.

Som framgår av de angivna uppgifterna drar vi i varje exempel slutsatsen att olika uppgifter leder till att dubbla summor av samma slag beaktas.

Egenskaper för den dubbla integralen.

Поставим задачу.Låt en funktion av två variabler ges i någon sluten domän, och den givna funktionen är kontinuerlig. Eftersom området är begränsat kan du placera det i valfri rektangel som helt innehåller egenskaperna för punkten för ett visst område. Dela rektangeln i lika delar. Vi kallar brottets diameter den största diagonalen av de resulterande rektanglarna. Nu väljer vi en punkt inom gränserna för en sådan rektangel. Om du hittar värdet vid denna punkt, lägg till summan, då kommer en sådan summa att kallas integralen för funktionen i det givna området. Hitta gränsen för en sådan integrerad summa, under de förhållanden som diametern för brottet följer till 0, och antalet rektanglar till oändlighet. Om en sådan gräns finns och inte beror på metoden att dela upp området i rektanglar och valet av en punkt, kallas det en dubbel integral.

Det geometriska innehållet i den dubbla integralen: den dubbla integralen är numeriskt lika med kroppens volym, som beskrivs i uppgift 2.

Genom att känna till den dubbla integralen (definition) kan du ställa in följande egenskaper:

1. Konstanten kan tas ur integralens tecken.
2. Integralen av summan (skillnaden) är lika med summan (skillnaden) för integralerna.
3. Av funktionerna kommer mindre att vara den vars dubbla integral är mindre.
4. Modulen kan introduceras under det dubbla integrerade tecknet.