Georg Cantor (foto ges senare i artikeln) -Tysk matematiker som skapade teorin om uppsättningar och introducerade begreppet transfinita siffror, oändligt stora, men olika från varandra. Han definierade också ordinal- och kardinalnummer och skapade deras aritmetik.
Född i Sankt Petersburg 03.03.1845.Hans far var en dansk protestantisk religion Georg-Waldemar Kantor, som var inblandad i handel, även på börsen. Hans mor, Maria Boehm, var katolik och kom från en familj av framstående musiker. När Georgs far blev sjuk år 1856 flyttade familjen, på jakt efter ett mildare klimat, först till Wiesbaden och sedan till Frankfurt. Pojkens matematiska talanger dök upp redan före hans 15-årsdag när han studerade i privata skolor och gymnasier i Darmstadt och Wiesbaden. Till slut övertygade Georg Cantor sin far om sin fasta avsikt att bli matematiker, inte ingenjör.
Efter en kort studie vid universitetet i Zürich 1863 överfördes Cantor till universitetet i Berlin för att studera fysik, filosofi och matematik. Där lärde han sig:
Efter att ha tillbringat en termin vid universitetet i Göttingen i1866 året därpå skrev Georg sin doktorsavhandling med titeln "I matematik är konsten att ställa frågor mer värdefull än att lösa problem", om ett problem som Karl Friedrich Gauss lämnade olöst i sina Disquisitiones Arithmeticae (1801). Efter en kort undervisning vid Berlins flickaskola började Kantor arbeta vid universitetet i Halle, där han stannade till slutet av sitt liv, först som lärare, från 1872 som biträdande professor och från 1879 som professor.
I början av en serie med tio verk från 1869 till 1873Georg Cantor ansåg talteori. Arbetet återspeglade hans passion för ämnet, hans studier av Gauss och Kroneckers inflytande. På förslag av Heinrich Edouard Heine, en kollega av Cantor i Halle, som kände igen sin matematiska talang, vände han sig till teorin om trigonometriska serier, där han utvidgade begreppet reella tal.
Utgår från arbetet med den komplexa funktionenvariabel av den tyska matematikern Bernhard Riemann 1854, visade Cantor 1870 att en sådan funktion bara kan representeras på ett sätt - trigonometriska serier. Hänsyn till en uppsättning siffror (poäng) som inte skulle motsäga en sådan uppfattning ledde honom först 1872 till definitionen av irrationella tal i termer av konvergerande sekvenser av rationella tal (bråk av heltal) och sedan till början av arbetet med hela sitt livs arbete, uppsättningsteori och begreppet transfinita tal.
Georg Cantor, vars uppsättningsteori föddesi korrespondens med matematiker från Braunschweigs tekniska institut, Richard Dedekind, var vän med honom sedan barndomen. De kom fram till att uppsättningar, ändliga eller oändliga, är en samling element (till exempel siffror, {0, ± 1, ± 2 ...}) som har en viss egenskap, samtidigt som de behåller sin individualitet. Men när Georg Cantor använde en en-mot-en-korrespondens för att studera deras egenskaper (till exempel {A, B, C} till {1, 2, 3}) insåg han snabbt att de skiljer sig åt i deras grad av tillhörighet, även om de var oändliga uppsättningar , det vill säga uppsättningar, av vilka en del eller delmängd innehåller så många objekt som sig själv. Hans metod gav snart fantastiska resultat.
År 1873 visade Georg Cantor (matematiker) detrationella tal, även om de är oändliga, är räknbara eftersom de kan sättas i en-till-en-korrespondens med naturliga tal (dvs. 1, 2, 3, etc.). Han visade att uppsättningen av reella tal, bestående av irrationell och rationell, är oändlig och oräknelig. Mer paradoxalt nog visade Cantor att uppsättningen av alla algebraiska tal innehåller lika många element som uppsättningen av alla heltal och att transcendentala tal som inte är algebraiska, som är en delmängd av irrationella tal, är otalbara och därför är antalet större än heltal. och bör betraktas som oändligt.
Men Cantors arbete, där han först lade framdessa resultat publicerades inte i tidskriften Krell, eftersom en av granskarna, Kronecker, var starkt emot. Men efter Dedekinds ingripande publicerades den 1874 under titeln "Om de karaktäristiska egenskaperna hos alla riktiga algebraiska siffror."
Samma år, under honungenmånader med sin fru Wally Gutmann i Interlaken, Schweiz, mötte Kantor Dedekind, som talade positivt om sin nya teori. Georges lön var liten, men med pengar från sin far, som dog 1863, byggde han ett hus för sin fru och fem barn. Många av hans verk har publicerats i Sverige i den nya tidskriften Acta Mathematica, redigerad och grundad av Gesta Mittag-Loeffler, som var bland de första som kände igen den tyska matematikerns talang.
Cantors teori har blivit ett helt nytt ämnestudier om matematik för oändlig (till exempel serie 1, 2, 3, etc., och mer komplexa uppsättningar), som i stor utsträckning berodde på en-till-en-korrespondens. Cantors utveckling av nya metoder för att ställa frågor om kontinuitet och oändlighet gav hans forskning en tvetydig karaktär.
När han hävdade att oändliga siffror är verkligaexisterade, vände han sig till forntida och medeltida filosofi i förhållande till verklig och potentiell oändlighet, liksom till den tidiga religiösa utbildningen som hans föräldrar gav honom. År 1883 kombinerade Cantor i sin bok Fundamentals of General Set Theory sitt koncept med Platons metafysik.
Kronecker, som hävdade att "existerar"endast heltal ("Gud skapade hela tal, resten är människans verk"), under många år avvisade hans resonemang entydigt och hindrade hans utnämning vid universitetet i Berlin.
1895-97.Georg Cantor utformade fullt ut sitt koncept om kontinuitet och oändlighet, inklusive oändliga ordinal- och kardinalnummer, i sitt mest kända verk, publicerat under titeln "Bidrag till skapandet av teorin om transfinita tal" (1915). Denna uppsats innehåller hans koncept, till vilket han leddes av demonstrationen att en oändlig uppsättning kan placeras i en-till-en-korrespondens med en av dess underuppsättningar.
Under det minsta transfinita huvudnumrethan menade kardinaliteten i varje uppsättning som kan sättas i en-till-en-korrespondens med naturliga tal. Cantor kallade det aleph-zero. Stora transfinituppsättningar betecknas aleph-one, aleph-two, etc. Han vidareutvecklade aritmetiken för transfinitnummer, vilket var analogt med finite aritmetik. Således berikade han begreppet oändlighet.
Motståndet han mötte och tidenatt det tog för hans idéer att accepteras fullt ut beror på svårigheten att omvärdera den forntida frågan om vad ett nummer är. Cantor visade att många punkter på en rad är mer kraftfulla än aleph-zero. Detta ledde till det välkända problemet med kontinuumhypotesen - det finns inga kardinaler mellan aleph noll och kardinaliteten hos punkterna på linjen. Detta problem väckte stort intresse under första och andra hälften av 1900-talet och studerades av många matematiker, inklusive Kurt Gödel och Paul Cohen.
Biografi om Georg Cantor sedan 1884överskuggades av hans psykiska sjukdom, men han fortsatte att arbeta aktivt. 1897 hjälpte han till att vara värd för den första internationella matematiska kongressen i Zürich. Dels för att han motsattes av Kronecker sympatiserade han ofta med unga blivande matematiker och försökte hitta ett sätt att befria dem från förtrycket av lärare som kände sig hotade av nya idéer.
Vid sekelskiftet var hans arbete helterkänd som grund för teorin om funktioner, analys och topologi. Dessutom fungerade Cantor Georgs böcker som drivkraft för den vidare utvecklingen av intuitiva och formalistiska skolor för matematikens logiska grundval. Detta har förändrat undervisningssystemet avsevärt och förknippas ofta med "ny matematik".
År 1911 g.Kantor var bland de inbjudna att fira 500-årsjubileet för University of St Andrews i Skottland. Han åkte dit i hopp om att träffa Bertrand Russell, som i sitt nyligen publicerade verk Principia Mathematica gjorde upprepade hänvisningar till den tyska matematikern, men detta hände inte. Universitetet tilldelade Kantor en hedersexamen, men på grund av sjukdom kunde han inte ta emot priset personligen.
Kantor gick i pension 1913., levde i fattigdom och svältade under första världskriget. Hans 70-årsdag firade 1915 avbröts på grund av kriget, men en liten ceremoni ägde rum i hans hem. Han dog 06.01.1918 i Halle, på ett psykiatriskt sjukhus, där han tillbringade de sista åren av sitt liv.
9 augusti 1874Tysk matematiker gifte sig med Wally Gutmann. Paret hade 4 söner och 2 döttrar. Det sista barnet föddes 1886 i ett nytt hem som Kantor förvärvade. Hans fars arv hjälpte honom att försörja sin familj. Kantors hälsotillstånd påverkades starkt av hans yngste sons död 1899 - sedan dess har han inte lämnat depression.
