ย้อนกลับไปที่โรงเรียนพวกเราแต่ละคนศึกษาสมการและน่าจะเป็นระบบสมการ แต่ไม่ค่อยมีใครรู้ว่ามีหลายวิธีในการแก้ปัญหาเหล่านี้ วันนี้เราจะวิเคราะห์โดยละเอียดเกี่ยวกับวิธีการทั้งหมดในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งประกอบด้วยความเท่าเทียมกันมากกว่าสองค่า
ปัจจุบันเป็นที่ทราบกันดีว่างานศิลปะเพื่อแก้สมการและระบบของพวกมันเกิดขึ้นในบาบิโลนโบราณและอียิปต์ อย่างไรก็ตามความเท่าเทียมกันในรูปแบบปกติของพวกเขาปรากฏขึ้นหลังจากการปรากฏตัวของเครื่องหมายเท่ากับ "=" ซึ่งนำมาใช้ในปี 1556 โดยบันทึกนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ อย่างไรก็ตามเครื่องหมายนี้ถูกเลือกด้วยเหตุผล: มันหมายถึงส่วนที่เท่ากันสองส่วนที่ขนานกัน แท้จริงแล้วไม่มีตัวอย่างใดที่ดีกว่าเรื่องความเท่าเทียมกัน
ผู้ก่อตั้งอักษรสมัยใหม่สัญกรณ์และเครื่องหมายองศาที่ไม่รู้จักคือFrançois Viet นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส อย่างไรก็ตามการกำหนดมันแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญจากปัจจุบัน ตัวอย่างเช่นเขาเขียนเครื่องหมายสี่เหลี่ยมของตัวเลขที่ไม่รู้จักด้วยตัวอักษร Q (ละติน "quadratus") และลูกบาศก์ที่มีตัวอักษร C (ละติน "cubus") ตอนนี้สัญกรณ์นี้ดูน่าอึดอัด แต่ก็เป็นวิธีที่เข้าใจได้ง่ายที่สุดในการเขียนระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น
อย่างไรก็ตามข้อเสียในวิธีการแก้นั้นก็คือนักคณิตศาสตร์มองว่าเป็นเพียงรากเชิงบวกเท่านั้น บางทีอาจเป็นเพราะค่าลบไม่มีประโยชน์ในทางปฏิบัติ ไม่ทางใดก็ทางหนึ่งก็คือนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano และ Rafael Bombelli ซึ่งเป็นคนแรกที่พิจารณารากเหง้าเชิงลบในศตวรรษที่ 16 และรูปแบบสมัยใหม่วิธีการหลักในการแก้สมการกำลังสอง (ผ่านการแยกแยะ) ถูกสร้างขึ้นเฉพาะในศตวรรษที่ 17 โดยอาศัยผลงานของเดส์การ์ตส์และนิวตัน
กาเบรียลนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสกลางศตวรรษที่ 18เครเมอร์พบวิธีใหม่ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นให้ง่ายขึ้น วิธีนี้ได้รับการตั้งชื่อตามเขาในภายหลังและจนถึงทุกวันนี้เราก็ใช้มัน แต่เราจะพูดถึงวิธีการของ Cramer ในภายหลัง แต่สำหรับตอนนี้เราจะพูดถึงสมการเชิงเส้นและวิธีการสำหรับการแก้ปัญหาแยกต่างหากจากระบบ
สมการเชิงเส้นเป็นค่าความเท่าเทียมที่ง่ายที่สุดโดยมีตัวแปร พวกเขาจัดเป็นพีชคณิต สมการเชิงเส้นเขียนในรูปแบบทั่วไปดังนี้ก1* x1+ ก2 *กับ2+ ... กn* xn= ข. เราจำเป็นต้องมีการแสดงในรูปแบบนี้เมื่อรวบรวมระบบและเมทริกซ์เพิ่มเติม
คำจำกัดความของคำนี้มีดังนี้:มันเป็นชุดของสมการที่มีสิ่งที่ไม่รู้จักทั่วไปและเป็นวิธีแก้ปัญหาทั่วไป ตามกฎแล้วในโรงเรียนทุกคนได้รับการแก้ไขโดยระบบที่มีสมการสองหรือสามสมการ แต่มีระบบที่มีส่วนประกอบตั้งแต่สี่ส่วนขึ้นไป ก่อนอื่นเรามาดูวิธีการเขียนลงไปเพื่อให้ง่ายต่อการแก้ไขในอนาคต ประการแรกระบบของสมการพีชคณิตเชิงเส้นจะดูดีขึ้นถ้าตัวแปรทั้งหมดเขียนเป็น x ด้วยดัชนีที่เหมาะสม: 1,2,3 และอื่น ๆ ประการที่สองสมการทั้งหมดควรลดลงเป็นรูปแบบบัญญัติ: a1* x1+ ก2 *กับ2+ ... กn* xn= ข.
หลังจากทำตามขั้นตอนเหล่านี้แล้วเราจะเริ่มบอกได้ว่าจะหาคำตอบสำหรับระบบสมการเชิงเส้นได้อย่างไร เมทริกซ์มีประโยชน์มากสำหรับสิ่งนี้
Matrix คือตารางที่ประกอบด้วยแถวและคอลัมน์และที่จุดตัดของพวกเขาคือองค์ประกอบของมัน ค่าเหล่านี้อาจเป็นค่าเฉพาะหรือตัวแปรก็ได้ บ่อยครั้งในการกำหนดองค์ประกอบตัวห้อยจะถูกวางไว้ข้างใต้ (ตัวอย่างเช่นก11 หรือก23). ดัชนีแรกคือหมายเลขแถวและดัชนีที่สองคือคอลัมน์ การดำเนินการต่างๆสามารถทำได้บนเมทริกซ์เช่นเดียวกับองค์ประกอบทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ ดังนั้นคุณสามารถ:
1) ลบและเพิ่มตารางที่มีขนาดเท่ากัน
2) คูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนหรือเวกเตอร์
3) Transpose: แปลงแถวของเมทริกซ์เป็นคอลัมน์และคอลัมน์เป็นแถว
4) คูณเมทริกซ์หากจำนวนแถวของหนึ่งในนั้นเท่ากับจำนวนคอลัมน์ของอีกคอลัมน์
เราจะพูดถึงเทคนิคเหล่านี้ทั้งหมดโดยละเอียดเนื่องจากจะเป็นประโยชน์กับเราในอนาคต การลบและการเพิ่มเมทริกซ์นั้นง่ายมาก เนื่องจากเราใช้เมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันแต่ละองค์ประกอบของตารางหนึ่งจึงสอดคล้องกับแต่ละองค์ประกอบของอีกตารางหนึ่ง ดังนั้นเราจึงเพิ่ม (ลบ) องค์ประกอบทั้งสองนี้ (สิ่งสำคัญคือต้องอยู่ในตำแหน่งเดียวกันในเมทริกซ์ของพวกเขา) เมื่อคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขหรือเวกเตอร์คุณเพียงแค่ต้องคูณแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ด้วยจำนวนนั้น (หรือเวกเตอร์) การขนย้ายเป็นกระบวนการที่น่าสนใจมาก บางครั้งมันก็น่าสนใจมากที่จะได้เห็นมันในชีวิตจริงเช่นเมื่อเปลี่ยนทิศทางของแท็บเล็ตหรือโทรศัพท์ ไอคอนบนเดสก์ท็อปเป็นเมทริกซ์และเมื่อคุณเปลี่ยนตำแหน่งไอคอนจะถูกเปลี่ยนตำแหน่งและกว้างขึ้น แต่ความสูงจะลดลง
ให้เราวิเคราะห์กระบวนการเช่นการคูณเมทริกซ์แม้ว่ามันจะไม่เป็นประโยชน์สำหรับเรา แต่ก็ยังมีประโยชน์ที่จะรู้ว่ามันยังคงเป็นประโยชน์ คุณสามารถคูณสองเมทริกซ์ได้ก็ต่อเมื่อจำนวนคอลัมน์ในตารางหนึ่งเท่ากับจำนวนแถวในอีกตารางหนึ่ง ตอนนี้เรามาดูองค์ประกอบของแถวของเมทริกซ์หนึ่งและองค์ประกอบของคอลัมน์ที่เกี่ยวข้องกัน เราคูณมันเข้าด้วยกันแล้วบวกเข้าไป (นั่นคือผลคูณขององค์ประกอบก11 และก12 เมื่อวันที่ b12 และ b22 จะเท่ากับ: a11* ข12 + ก12* ข22). ดังนั้นจึงได้รับองค์ประกอบหนึ่งของตารางและด้วยวิธีการที่คล้ายกันจะถูกเติมเพิ่มเติม
ตอนนี้เราสามารถเริ่มพิจารณาวิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้นได้
หัวข้อนี้เริ่มมีการพูดคุยกันที่โรงเรียน เราตระหนักดีถึงแนวคิดของ "ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร" และสามารถแก้ปัญหาได้ แต่ถ้าจำนวนสมการมากกว่าสอง? วิธี Gauss จะช่วยเราในเรื่องนี้
แน่นอนว่าวิธีนี้สะดวกในการใช้หากคุณสร้างเมทริกซ์ออกจากระบบ แต่คุณไม่สามารถแปลงร่างและแก้มันในรูปแบบที่บริสุทธิ์ที่สุดได้
ดังนั้นระบบของเส้นตรงเป็นอย่างไรสมการเกาส์? อย่างไรก็ตามแม้ว่าวิธีนี้จะตั้งชื่อตามเขา แต่ก็ถูกค้นพบในสมัยโบราณ Gauss เสนอสิ่งต่อไปนี้: เพื่อดำเนินการกับสมการเพื่อลดทั้งชุดให้อยู่ในรูปแบบทีละขั้น นั่นคือมีความจำเป็นที่จากบนลงล่าง (ถ้าวางถูกต้อง) จากสมการแรกถึงสมการสุดท้ายจะลดลงโดยไม่ทราบสาเหตุ กล่าวอีกนัยหนึ่งเราต้องแน่ใจว่าเราได้พูดสามสมการ: ในสามตัวแรกที่ไม่รู้จักในสอง - สองในสาม - หนึ่ง จากสมการสุดท้ายเราพบสิ่งที่ไม่รู้จักตัวแรกแทนค่าของมันเป็นสมการที่สองหรือสมการแรกจากนั้นหาตัวแปรอีกสองตัว
เพื่อให้เชี่ยวชาญวิธีนี้เป็นสิ่งสำคัญมีทักษะในการบวกลบเมทริกซ์และคุณต้องสามารถหาดีเทอร์มิแนนต์ได้ด้วย ดังนั้นหากคุณทำสิ่งเหล่านี้ไม่ดีหรือไม่รู้วิธีการทั้งหมดคุณจะต้องเรียนรู้และฝึกฝน
สาระสำคัญของวิธีนี้คืออะไรและจะทำให้เป็นเช่นนั้นได้อย่างไรได้ระบบสมการเชิงเส้นแครมเมอร์? ทุกอย่างง่ายมาก เราต้องสร้างเมทริกซ์จากค่าสัมประสิทธิ์เชิงตัวเลข (เกือบตลอดเวลา) ของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น ในการทำเช่นนี้เราเพียงแค่นำตัวเลขที่อยู่หน้าสิ่งที่ไม่รู้จักและวางไว้ในตารางตามลำดับที่เขียนไว้ในระบบ หากมีเครื่องหมาย "-" อยู่ข้างหน้าตัวเลขให้เขียนค่าสัมประสิทธิ์เชิงลบ ดังนั้นเราจึงได้รวบรวมเมทริกซ์แรกของสัมประสิทธิ์สำหรับสิ่งที่ไม่รู้จักโดยไม่รวมตัวเลขหลังเครื่องหมายเท่ากับ (ตามธรรมชาติแล้วสมการจะต้องลดลงเป็นรูปแบบบัญญัติเมื่อมีเพียงตัวเลขอยู่ทางขวาและไม่ทราบค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมด อยู่ทางซ้าย) จากนั้นคุณต้องสร้างเมทริกซ์เพิ่มเติมอีกหลายรายการสำหรับแต่ละตัวแปร ในการทำเช่นนี้ให้แทนที่ในเมทริกซ์แรกในแต่ละคอลัมน์ด้วยสัมประสิทธิ์ด้วยคอลัมน์ของตัวเลขหลังเครื่องหมายเท่ากับ ดังนั้นเราจึงได้เมทริกซ์หลายตัวแล้วหาดีเทอร์มิแนนต์
หลังจากที่เราพบคุณสมบัติแล้วกรณีของเล็ก. เรามีเมทริกซ์เริ่มต้นและมีเมทริกซ์ผลลัพธ์หลายตัวที่สอดคล้องกับตัวแปรต่างๆ เพื่อให้ได้โซลูชันระบบเราแบ่งดีเทอร์มิแนนต์ของตารางผลลัพธ์ด้วยดีเทอร์มิแนนต์ของตารางเริ่มต้น ตัวเลขผลลัพธ์คือค่าของตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง ในทำนองเดียวกันเราพบสิ่งที่ไม่รู้จักทั้งหมด
มีวิธีการอื่น ๆ อีกมากมายสำหรับหาคำตอบสำหรับระบบสมการเชิงเส้น ตัวอย่างเช่นวิธีการที่เรียกว่า Gauss-Jordan ซึ่งใช้เพื่อค้นหาคำตอบสำหรับระบบสมการกำลังสองและยังเกี่ยวข้องกับการใช้เมทริกซ์ นอกจากนี้ยังมีวิธีจาโคบีในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการปรับให้เข้ากับคอมพิวเตอร์และใช้ในการคำนวณ
ความยากมักเกิดขึ้นถ้าจำนวนสมการตัวแปรน้อยลง จากนั้นเราสามารถพูดได้อย่างแน่นอนว่าระบบนั้นเข้ากันไม่ได้ (นั่นคือไม่มีรูท) หรือจำนวนโซลูชันมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด ถ้าเรามีกรณีที่สองเราต้องเขียนคำตอบทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้น จะมีตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัว
ที่นี่เรามาถึงจุดสิ้นสุดสรุป: เราได้วิเคราะห์ว่าระบบและเมทริกซ์คืออะไรเรียนรู้วิธีการหาคำตอบทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้น นอกจากนี้ยังมีการพิจารณาตัวเลือกอื่น ๆ เราพบวิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้น: วิธีเกาส์และวิธีแครมเมอร์ เราได้พูดคุยเกี่ยวกับกรณีที่ยากลำบากและวิธีอื่น ๆ ในการหาทางแก้ไข
อันที่จริงหัวข้อนี้กว้างขวางกว่ามากและหากคุณต้องการทำความเข้าใจให้ดีขึ้นเราขอแนะนำให้คุณอ่านวรรณกรรมเฉพาะทางเพิ่มเติม
