Türevlerle birlikte işlevleri farklılıklar temel diferansiyel kavramlardan bazılarımatematik, matematiksel analizin ana bölümü. Ayrılmaz bir şekilde birbirine bağlı olarak, her ikisi de insanın bilimsel ve teknolojik faaliyeti sürecinde ortaya çıkan tüm sorunları çözmek için birkaç yüzyıldan beri aktif olarak kullanılmıştır.
Впервые разъяснил, что такое дифференциал, один ünlü matematikçi Gottfried Wilhelm Leibniz'deki diferansiyel matematiğin yaratıcısı (Isaac Newton ile birlikte). Bundan önce, matematikçiler 17 yemek kaşığı. Çok küçük bir sabit değeri temsil eden, ancak sıfıra eşit olmayan, fonksiyonun değerlerinin basitçe yapamayacağı kadar küçük bir sabit değeri temsil eden ancak sıfıra eşit olmayan, bazı sınırsız "bölünmez" kısmı hakkında çok bulanık ve belirsiz bir fikir kullandık. Bu nedenle, işlevlerin argümanlarının sonsuz küçük artışları ve işlevlerin karşılık gelen artışları fikrini, ikincinin türevleriyle ifade edilen fikrin ortaya koymasından önce sadece bir adım vardı. Ve bu adım, söz konusu iki büyük bilim insanı tarafından neredeyse aynı anda atıldı.
Acil adrese ihtiyacına göreBilimin yükselen bir endüstri ve teknoloji tarafından ortaya koyduğu mekaniğin pratik problemleri, Newton ve Leibniz, fonksiyonların değişim oranını bulmak için genel metotlar yarattı (öncelikle bir vücudun mekanik hızıyla ilgili olarak bilinen bir yol boyunca), bu türev ve diferansiyel fonksiyon gibi kavramların ortaya çıkmasına neden oldu. ve aynı zamanda, ters problemin çözümü için, bir integral kavramının ortaya çıkmasına yol açan, bilinen (değişken) bir hız tarafından kat edilen mesafenin nasıl bulunacağını bulmak için bir algoritma da buldu.
Leibniz ve Newton'un eserleri ilk kez ortaya çıktıdiferansiyellerin Δx argümanlarının artımları ile orantılı olan ve Δx fonksiyonlarının artımlarının ana parçaları olduğu düşüncesi, ikincisinin değerlerini hesaplamak için başarıyla uygulanabilir. Başka bir deyişle, bir fonksiyonun artışının herhangi bir noktada (tanım alanı içinde) Δу = y "(x) Δх + αΔх türevi aracılığıyla ifade edilebildiğini keşfettiler, burada α Δх, Δх olarak sıfıra doğru kalan terimdir → 0, Δx'in kendisinden çok daha hızlı.
Matanalizin kurucularına göre,diferansiyeller, herhangi bir fonksiyonun artış ifadelerinde tam olarak ilk terimlerdir. Hala sekans sınırının net bir şekilde formüle edilmiş bir konseptine sahip olmadıklarında, sezgisel olarak, diferansiyel değerin, fonksiyonun türevine Δх → 0 - Δу / Δх → y "(x) olarak meyilli olduğunu fark ettiler.
Öncelikle Newton'un aksinefizikçi ve matematiksel aparatı fiziksel problemlerin araştırılması için yardımcı bir araç olarak gören Leibniz, bu araç setine, matematiksel miktarların açık ve anlaşılır bir gösterim sistemi de dahil olmak üzere daha fazla dikkat etti. Dy = y "(x) dx fonksiyonunun diferansiyelleri, dx argümanı ve fonksiyonun y" (x) = dy / dx oranı şeklinde türevi için genel kabul görmüş gösterimi öneren oydu.
Modern matematik açısından fark nedir? Değişken artış kavramı ile yakından ilişkilidir. Y değişkeni önce y = y değerini alırsa1ve sonra y = y2o zaman y farkı2 ─ y1 y'nin artışı olarak adlandırılır.
Если величину Δу произвольной функции y = f (x) Δy = A Δx + α şeklinde temsil etmek mümkündür, burada A, Δx'e bağımlı değildir, yani, A = belirli bir x için sabittir ve αx → 0 olarak α terimi, Δx'in kendisinden bile daha hızlıdır, o zaman ilk (“Ana”) terim Δx ile orantılıdır ve y = f (x) için, dy veya df (x) (“de igrek”, “de eff from x”). Bu nedenle, diferansiyeller Δх'a göre fonksiyon artışlarının "ana" doğrusal bileşenleridir.
S = f (t) düz bir çizgideki mesafe olsunmalzeme noktasının başlangıç konumundan hareket ettirilmesi (t, geçişte harcanan süredir). Artış Δs, zaman aralığı Δt üzerindeki noktanın yoludur ve diferansiyel ds = f "(t) Δt, zaman t ile elde edilen f" (t) hızını koruduğunda noktanın aynı zamanda gideceği yoldur. . Sonsuz küçük Δt için, hayali yol ds, gerçeklerden Δt'ye göre daha yüksek bir düzene sahip olan sonsuz küçük bir değerden farklıdır. T zamanındaki hız sıfıra eşit değilse, ds noktanın küçük yer değiştirmesinin yaklaşık değerini verir.
Пусть линия L является графиком y = f (x).Sonra Δ x = MQ, Δy = QM "(aşağıdaki şekle bakın). Teğet MN Δy segmentini QN ve NM olarak ikiye böler". Birincisi Δx ile orantılıdır ve QN = MQ ∙ tg (açı QMN) = Δх f "(x), yani QN diferansiyel boyadır.
Вторая часть NM"дает разность Δу ─ dy, при Δх→0 NM "uzunluğu, argümanın artışından bile daha hızlı azalır, yani küçüklük derecesi Δx'ten daha yüksektir. Söz konusu durumda, f" (x) ≠ 0 (tanjant OX'a paralel değildir) için QM "ve QN segmentleri eşdeğerdir; diğer bir deyişle, NM "tam Δу = QM" artışından daha hızlı azalır (küçüklük sırası daha yüksektir). Bu şekilde görülebilir (M "nin M" ye yaklaşmasıyla, NM segmenti "segment QM'nin giderek daha küçük bir yüzdesidir").
Dolayısıyla, grafiksel olarak, keyfi bir işlevin farkı, tanjantının koordinatının artmasına eşittir.
Fonksiyonun artması için ifadenin ilk terimindeki A katsayısı f "(x) türevinin değerine eşittir. Bu nedenle, aşağıdaki ilişki - dy = f" (x) Δх veya df (x) = f "(x) Δх tutar.
Bağımsız bir argümanın artışının, Δx = dx diferansiyeline eşit olduğu bilinmektedir. Buna göre şunu yazabiliriz: f "(x) dx = dy.
Diferansiyelleri bulmak (bazen “çözüm” derler) türevlerle aynı kurallara göre yapılır. Bunların bir listesi aşağıda verilmiştir.
Burada bazı açıklamalara ihtiyaç vardır.X'i bir argüman olarak düşünürken diferansiyelin f "(x) Δx ile temsili mümkündür. Fakat fonksiyon karmaşık olabilir, burada x bazı argümanın bir fonksiyonu olabilir. Daha sonra diferansiyelin f" (x) Δx ifadesi ile temsili genellikle imkansızdır; doğrusal bağımlılık durumu hariç x = at + b.
F "(x) dx = dy formülüne gelince, bağımsız bir argüman x (sonra dx = Δx) durumunda ve x'in t'ye parametrik bağımlılığı durumunda, bir farkı temsil eder.
Örneğin, 2 x Δx ifadesi y = x'i temsil eder2 x bir argüman olduğunda farkı. Şimdi x = t koy2 ve t'nin bir argüman olduğunu varsayıyoruz. Sonra y = x2 = t4.
Ardından (t + Δt)2 = t2 + 2tΔt + Δt2. Dolayısıyla Δx = 2tΔt + Δt2... Anlamı: 2xΔx = 2t2 (2tΔt + Δt2 ).
Bu ifade Δt ile orantılı değildir ve bu nedenle şimdi 2xΔx bir diferansiyel değildir. Y = x denkleminden bulunabilir.2 = t4. Dy = 4t'ye eşit olduğu ortaya çıkıyor.3At.
2xdx ifadesini alırsak, y = x farkını temsil eder2 herhangi bir argüman için t. Gerçekten, x = t için2 dx = 2tΔt elde ederiz.
Yani 2xdx = 2t22tΔt = 4t3Δt, yani iki farklı değişken üzerinden yazılan diferansiyellerin ifadeleri çakışmıştır.
F "(x) ≠ 0 ise, Δу ve dy eşdeğerdir (Δх → 0 olduğunda); f" (x) = 0 olduğunda (dy = 0 anlamına gelir), bunlar eşdeğer değildir.
Örneğin, y = x ise2, sonra Δу = (x + Δх)2 ─ x2= 2xΔx + Δx2ve dy = 2xΔx. Eğer x = 3 ise, Δy = 6Δx + Δx olur2 ve dy = 6Δх, çünkü Δх2→ 0, х = 0 değerleri Δу = Δх2 ve dy = 0 eşdeğer değildir.
Bu gerçek, basit bir yapıyla birliktediferansiyel (yani Δx'e göre doğrusallık), küçük Δх için Δу ≈ dy varsayımı altında, genellikle yaklaşık hesaplamalarda kullanılır. Bir fonksiyonun diferansiyelini bulmak, genellikle artışın tam değerini hesaplamaktan daha kolaydır.
Örneğin, kenarı x = 10.00 cm olan bir metal küpümüz var Isıtıldığında kenar Δх = 0.001 cm uzadı Kübün hacmi V ne kadar arttı? V = x'e sahibiz2yani dV = 3x2Δх = 3 ∙ 102∙ 0/01 = 3 (cm3). Hacimdeki artış ΔV, diferansiyel dV'ye eşdeğerdir, dolayısıyla ΔV = 3 cm3... Tam bir hesaplama, ΔV = 10.01 verir.3 ─ 103 = 3.003001. Ancak bu sonuçta, ilki dışındaki tüm sayılar güvenilmezdir; yani, aynı şekilde, 3 cm'ye kadar yuvarlamanız gerekiyor3.
Açıktır ki, böyle bir yaklaşım, ancak ortaya çıkan hatanın büyüklüğünü tahmin etmek mümkünse yararlıdır.
Y = x fonksiyonunun diferansiyelini bulmaya çalışalım3bir türev bulmadan. Argümana bir artış verelim ve Δу tanımlayalım.
Δу = (Δх + x)3 ─ x3 = 3x2Δx + (3xΔx2 + Δx3).
Burada katsayı A = 3x2 Δx'e bağlı değildir, dolayısıyla ilk terim Δx ile orantılı iken diğer terim 3xΔx'tir2 + Δx3 Δх → 0'da argümanın artışından daha hızlı azalır. Yani çük 3x2Δх, y = x diferansiyelidir3:
dy = 3x2Δх = 3x2dx veya d (x3) = 3x2dx.
Dahası, d (x3) / dx = 3 kat2.
Şimdi y = 1 / x fonksiyonunun dy'sini türevi cinsinden bulalım. Sonra d (1 / x) / dx = ─1 / x2... Bu nedenle dy = ─ Δх / х2.
Temel cebirsel fonksiyonların diferansiyelleri aşağıda verilmiştir.
X = a için f (x) fonksiyonunu ve bunun türevini f "(x) hesaplamak genellikle kolaydır, ancak aynı şeyi x = a noktası civarında yapmak kolay değildir. Sonra kurtarmaya yaklaşık bir ifade gelir.
f (a + Δх) ≈ f "(a) Δх + f (a).
Farkı f "(a) Δх aracılığıyla küçük artışlarla Δх fonksiyonun yaklaşık bir değerini verir.
Bu nedenle, bu formül yaklaşık birBu bölümün (x = a) başlangıç noktasındaki değerinin toplamı olarak Δx uzunluğundaki belirli bir bölümün son noktasındaki fonksiyon için ifade ve aynı başlangıç noktasındaki diferansiyel. Fonksiyonun değerini belirleyen bu yöntemin hatası aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.
Bununla birlikte, x = a + Δх için fonksiyonun değerinin tam ifadesi de bilinmektedir, sonlu artışlar formülüyle (veya başka bir deyişle Lagrange formülü ile) verilmiştir.
f (a + Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f (a),
burada x = a + ξ noktası x = a'dan itibarenx = a + Δх'ya kadar, kesin konumu bilinmemekle birlikte. Tam formül, yaklaşık formülün hatasını tahmin etmenizi sağlar. Bununla birlikte, Lagrange formülüne ξ = Δx / 2 koyarsak, o zaman kesin olmaktan çıksa da, genellikle diferansiyel yoluyla orijinal ifadeden çok daha iyi bir yaklaşım verir.
Ölçü aletleri prensipte kesin değildir veilgili hataları ölçüm verilerine dahil edin. Sınırlayıcı mutlak hata veya kısaca sınırlayıcı hata ile karakterize edilirler - bu hatayı mutlak değerde (veya en uç durumda ona eşit) açıkça aşan pozitif bir sayı. Sınırlayıcı bağıl hata, ölçülen değerin mutlak değerine bölünmesinin bölümü olarak adlandırılır.
Tam formül y = f (x) için kullanılsıny fonksiyonunun hesaplanması, ancak x'in değeri ölçümün sonucudur ve bu nedenle y'de bir hata ortaya çıkarır. Ardından, y fonksiyonunun maksimum mutlak hatası │Δу│ bulmak için aşağıdaki formülü kullanın
│Δу│≈│dy│ = │ f "(x) ││Δх│,
│Δх│, argümanın sınırlayıcı hatasıdır. │Δу│ değeri yuvarlanmalıdır, çünkü Farkı hesaplamak için artışı hesaplamanın ikamesi kendi başına kesin değildir.
