Дійсні числа та їх властивості

Пифагор утверждал, что число лежит в основании світу нарівні з основними стихіями. Платон вважав, що число пов'язує феномен і ноумен, допомагаючи пізнавати, порівнювати і робити висновки. Арифметика походить від слова "аріфмос" - число, основа основ в математиці. Ним можна описати будь-який об'єкт - від елементарного яблука до абстрактних просторів.

Потреби як фактор розвитку

На початкових етапах становлення суспільствапотреби людей обмежувалися необхідністю вести рахунок - один мішок зерна, два мішки зерна і т. д. Для цього досить було натуральних чисел, безліч яких є нескінченною позитивну послідовність цілих чисел N.

Пізніше, з розвитком математики як науки, виникланеобхідність в окремому полі цілих чисел Z - воно включає в себе негативні величини і нуль. Його поява на побутовому рівні було спровоковано тим, що в первинній бухгалтерії необхідно було якось зафіксувати борги і збитки. На науковому рівні негативні числа уможливили рішення найпростіших лінійних рівнянь. Крім іншого, тепер стало можливим зображення тривіальної системи координат, т. К. З'явилася точка відліку.

Наступним кроком стала необхідність введення дробовихчисел, так як наука не стояла на місці, все нові і нові відкриття вимагали теоретичної бази для нового поштовху зростання. Так з'явилося поле раціональних чисел Q.

Нарешті, раціональність перестала задовольнятизапити, адже все нові висновки вимагали обґрунтування. З'явилися поле дійсних чисел R, праці Евкліда про неспівмірності деяких величин в силу їх ірраціональності. Тобто давньогрецькі математики позиціонували число не тільки як константу, а й як абстрактну величину, яка характеризується відношенням несумірних величин. Завдяки тому що з'явилися дійсні числа, "побачили світ" такі величини, як "пі" та "е", без яких сучасна математика не змогла б відбутися.

Фінальним нововведенням стало комплексне число C.Воно відповіло на ряд питань і спростувало раніше введені постулати. Через стрімке розвитку алгебри результат був передбачуваний - маючи дійсні числа, рішення багатьох завдань було неможливо. Наприклад, завдяки комплексним числам виділилися теорії струн і хаосу, розширилися рівняння гідродинаміки.

Теорія множин. Кантор

Поняття нескінченності в усі часи викликалосуперечки, так як його не можна було ні довести, ні спростувати. В контексті математики, яка оперувала строго вивіреними постулатами, це проявлялося найбільш явно, тим більше що теологічний аспект все ще мав вагу в науці.

Однак завдяки роботам математика ГеоргаКантора все з плином часу стало на свої місця. Він довів, що нескінченних множин існує безліч, і те, що поле R більше поля N, нехай вони обидва і не мають кінця. В середині XIX століття його ідеї гучно називали маячнею і злочином проти класичних, непорушних канонів, однак час усе розставив на свої місця.

Основні властивості поля R

Дійсні числа мають не тільки ті ж властивості, що й подможества, які в них включені, а й доповнені іншими в силу масшабності своїх елементів:

• Нуль існує і належить полю R. c + 0 = c для будь-якого c з R.
• Нуль існує і належить полю R. c х 0 = 0 для будь-якого c з R.
• Ставлення c: d при d ≠ 0 існує і є дійсним для будь-яких c, d з R.
• Поле R впорядковано, тобто якщо c ≤ d, d ≤ c, то c = d для будь-яких c, d з R.
• Додавання в поле R є комутативним, тобто c + d = d + c для будь-яких c, d з R.
• Множення в поле R є комутативним, тобто c х d = d х c для будь-яких c, d з R.
• Додавання в поле R є асоціативним, тобто (c + d) + f = c + (d + f) для будь-яких c, d, f з R.
• Множення в поле R асоціативно, тобто (c х d) х f = c х (d х f) для будь-яких c, d, f з R.
• Для кожного числа з поля R існує йому протилежне, таке що c + (-c) = 0, де c, -c з R.
• Для кожного числа з поля R існує йому зворотне, таке що c х c^-1 = 1, де c, c^-1 з R.
• Одиниця існує і належить R, так що c х 1 = c, для будь-якого c з R.
• Має силу розподільний закон, так що c х (d + f) = c х d + c х f, для будь-яких c, d, f з R.
• В поле R нуль НЕ дорівнює одиниці.
• Поле R є транзитивним: якщо c ≤ d, d ≤ f, то c ≤ f для будь-яких c, d, f з R.
• В поле R порядок і складання взаємопов'язані: якщо c ≤ d, то c + f ≤ d + f для будь-яких c, d, f з R.
• В поле R порядок і множення взаємопов'язані: якщо 0 ≤ c, 0 ≤ d, то 0 ≤ c х d для будь-яких c, d з R.
• Як негативні, так і позитивні дійсні числа безперервні, тобто для будь-яких c, d з R знайдеться таке f з R, що c ≤ f ≤ d.

Модуль в поле R

Дійсні числа включають в себе таке поняття, як модуль.

Комплексні і дійсні числа. Що спільного і в чому відмінності?

За великим рахунком, комплексні і дійснічисла - це одне і те ж, хіба що до першого приєдналася уявна одиниця i, квадрат якої дорівнює -1. Елементи полів R і С можна представити у вигляді такої формули:

• c = d + f х i, де d, f належать полю R, а i - уявна одиниця.

Щоб отримати c з R в даному випадку f простовважають рівним нулю, тобто залишається тільки дійсна частина числа. В силу того що поле комплексних чисел володіє тим же набором властивостей, що і поле дійсних, f х i = 0, якщо f = 0.

Що стосується практичних відмінностей, то, наприклад, вполе R квадратне рівняння не вирішується, якщо дискримінант від'ємний, тоді як поле C не накладає подібне обмеження завдяки введенню уявної одиниці i.

підсумки

«Цеглина» аксіом і постулатів, на якихбазується математика, що не змінюються. На частину з них у зв'язку зі збільшенням інформації та введенням нових теорій кладуться наступні "цеглини", які в перспективі можуть стати основою для чергового кроку. Наприклад, натуральні числа, не дивлячись на те що є підмножиною дійсного поля R, не втрачають своєї актуальності. Саме на них грунтується вся елементарна арифметика, з якої починається пізнання людиною світу.

З практичної точки зору дійсні числавиглядають як пряма. На ній можна вибрати напрямок, позначити початок відліку і крок. Пряма складається з нескінченного числа точок, кожна з яких відповідає єдине дійсне число, незалежно від того, раціональне воно чи ні. З опису ясно, що мова йде про поняття, на якому будується як математика в цілому, так і математичний аналіз зокрема.