مرة أخرى في المدرسة ، درس كل واحد منا المعادلات ، وبالتأكيد أنظمة المعادلات. لكن لا يعرف الكثير من الناس أن هناك عدة طرق لحلها. اليوم سوف نحلل بالتفصيل جميع الطرق لحل نظام المعادلات الجبرية الخطية ، والتي تتكون من أكثر من اثنين من المساواة.
من المعروف اليوم أن هذا الفنلحل المعادلات وأنظمتها نشأت في بابل القديمة ومصر. ومع ذلك ، ظهرت المساواة في شكلها المعتاد بالنسبة لنا بعد ظهور علامة المساواة "=" ، والتي تم تقديمها في عام 1556 بواسطة سجل الرياضيات الإنجليزي. بالمناسبة ، تم اختيار هذه العلامة لسبب: يعني جزأين متساويين. في الواقع ، ليس هناك مثال أفضل للمساواة.
مؤسس الحروف الهجائية الحديثةتدوين المجهول وعلامات الدرجات هو عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييت. ومع ذلك ، كانت تسمياتها مختلفة بشكل كبير عن اليوم. على سبيل المثال ، قام بتعيين مربع رقم غير معروف بالحرف Q (lat. "Quadratus") ، والمكعب بالحرف C (lat. "Cubus"). هذه الرموز تبدو الآن غير مريحة ، ولكن بعد ذلك كانت الطريقة الأكثر قابلية للفهم لكتابة أنظمة المعادلات الجبرية الخطية.
ومع ذلك ، فإن العيب في أساليب الحل ثمكان أن علماء الرياضيات يعتبرون جذور إيجابية فقط. ربما هذا يرجع إلى حقيقة أن القيم السلبية ليس لها تطبيق عملي. بطريقة أو بأخرى ، كان علماء الرياضيات الإيطاليون نيكولو تارتاليا وجيرولامو كاردانو ورافائيل بومبيلي هم الذين بدأوا النظر في الجذور السلبية أولاً في القرن السادس عشر. والمظهر الحديث ، الطريقة الرئيسية لحل المعادلات التربيعية (من خلال التمييز) تم إنشاؤها فقط في القرن 17 بفضل أعمال ديكارت ونيوتن.
في منتصف القرن الثامن عشر ، عالم الرياضيات السويسري غابرييللقد وجد Kramer طريقة جديدة لجعل أنظمة حل المعادلات الخطية أسهل. سميت هذه الطريقة لاحقا باسمه وحتى يومنا هذا نستخدمها. لكننا سنتحدث عن طريقة Cramer في وقت لاحق ، لكن في الوقت الحالي سنناقش المعادلات الخطية وطرق حلها بشكل منفصل عن النظام.
المعادلات الخطية هي أبسط المعادلات مع المتغير (المتغيرات). تصنف على أنها جبري. تتم كتابة المعادلات الخطية بشكل عام كما يلي:1* ق1+ أ2 *مع2+ ... أن* قن= ب. سنحتاج إلى تمثيلهم في هذا النموذج عند تجميع النظم والمصفوفات أدناه.
تعريف هذا المصطلح هو:هي مجموعة من المعادلات التي لها كميات غير معروفة مشتركة وحل عام. كقاعدة عامة ، تم حل كل شيء في المدرسة من خلال أنظمة ذات معادلتين أو حتى ثلاث معادلات. ولكن هناك أنظمة بها أربعة مكونات أو أكثر. دعونا نكتشف أولاً كيفية كتابتها بحيث تكون ملائمة لحلها في المستقبل. أولاً ، ستبدو أنظمة المعادلات الجبرية الخطية أفضل إذا كانت جميع المتغيرات مكتوبة على شكل x مع المؤشر المقابل: 1،2،3 وهكذا. ثانيًا ، يجب اختزال جميع المعادلات إلى الشكل القانوني:1* ق1+ أ2 *مع2+ ... أن* قن= ب.
بعد كل هذه الخطوات ، يمكننا البدء في إخبار كيفية إيجاد حل لأنظمة المعادلات الخطية. المصفوفات مفيدة جدا لهذا الغرض.
المصفوفة هي جدول يتكون من صفوف والأعمدة ، وعند تقاطعها هي عناصرها. يمكن أن تكون هذه إما قيمًا محددة أو متغيرات. في أغلب الأحيان ، للإشارة إلى العناصر ، يتم وضع الرموز أسفلها (على سبيل المثال ، و11 أو أ23) الفهرس الأول هو رقم الصف ، والثاني هو العمود. يمكنك إجراء عمليات مختلفة على المصفوفات ، وكذلك على أي عنصر رياضي آخر. وبالتالي ، يمكنك:
1) اطرح وأضف الجداول بنفس الحجم.
2) اضرب المصفوفة في عدد أو متجه.
3) تبديل: تحويل صفوف المصفوفة إلى أعمدة ، والأعمدة إلى صفوف.
4) ضرب المصفوفات إذا كان عدد الصفوف في أحدها يساوي عدد الأعمدة في الآخر.
سنناقش كل هذه الحيل بمزيد من التفصيل ، منذ ذلك الحينتعال معنا في المستقبل. طرح المصفوفات وإضافتها بسيط للغاية. نظرًا لأننا نأخذ مصفوفات من نفس الحجم ، فإن كل عنصر في جدول واحد يتوافق مع كل عنصر في عنصر آخر. وهكذا ، نضيف (نطرح) هذين العنصرين (من المهم أن يقفوا في نفس الأماكن في مصفوفاتهم). عند ضرب مصفوفة برقم أو متجه ، ما عليك سوى ضرب كل عنصر في المصفوفة بهذا الرقم (أو المتجه). التبديل عملية مثيرة للاهتمام للغاية. من المثير للاهتمام في بعض الأحيان رؤيته في الحياة الواقعية ، على سبيل المثال ، عند تغيير اتجاه جهاز لوحي أو هاتف. الرموز على سطح المكتب هي مصفوفة ، وعندما تقوم بتغيير الوضع ، يتم تبديلها وتصبح أوسع ، ولكنها تنخفض في الارتفاع.
سننظر أيضًا في عملية مثل ضرب المصفوفة.على الرغم من أنه ليس مفيدًا لنا ، إلا أنه سيكون من المفيد التعرف عليه. يمكن مضاعفة مصفوفتين فقط بشرط أن يكون عدد الأعمدة في أحد الجداول مساويًا لعدد الصفوف في الجدول الآخر. الآن خذ عناصر الصف في مصفوفة وعناصر العمود المقابل في مصفوفة أخرى. اضربهم ببعضهم البعض ثم أضفهم (على سبيل المثال ، منتج العناصر أ11 و12 ب12 و ب22 ستكون مساوية لـ: أ11* في12 + أ12* في22) وبالتالي ، يتم الحصول على عنصر واحد من الجدول ، وبنفس الطريقة يتم تعبئته بشكل أكبر.
الآن يمكننا البدء في التفكير في كيفية حل نظام المعادلات الخطية.
هذا الموضوع بدأ يحدث في المدرسة. نحن نعلم جيداً مفهوم "نظام معادلتين خطيتين" وقادرون على حلها. ولكن ماذا لو كان عدد المعادلات أكثر من اثنين؟ طريقة Gauss ستساعدنا في ذلك.
بالطبع ، هذه الطريقة مناسبة للاستخدام إذا قمت بعمل مصفوفة خارج النظام. ولكن لا يمكنك تحويلها والبت في أنقى صورها.
لذا ، كنظام خطيمعادلات غاوس؟ بالمناسبة ، على الرغم من أن هذه الطريقة سميت باسمه ، فقد اكتشفوها في العصور القديمة. يقترح غاوس ما يلي: تنفيذ عمليات معادلات من أجل جلب السكان في نهاية المطاف إلى شكل تدريجي. أي أنه من الضروري أن تنخفض من الأعلى إلى الأسفل (إذا تم وضعها بشكل صحيح) من المعادلة الأولى إلى الأخيرة بنسبة غير معروفة. بعبارة أخرى ، نحتاج إلى التأكد من حصولنا ، على سبيل المثال ، على ثلاث معادلات: في الأولى - ثلاثة غير معروفة ، في الثانية - اثنتين ، في الثالثة - واحدة. ثم من المعادلة الأخيرة نجد المجهول الأول ، ونستبدل قيمته في المعادلة الثانية أو الأولى ، ثم نجد المتغيرين المتبقيين.
إتقان هذه الطريقة أمر حيويإتقان مهارات الجمع والطرح من المصفوفات ، وتحتاج أيضًا إلى أن تكون قادرًا على العثور على المحددات. لذلك ، إذا فعلت كل هذا بشكل سيئ أو لا تعرف كيفية القيام بذلك على الإطلاق ، فسيتعين عليك التعلم والممارسة.
ما هو جوهر هذه الطريقة ، وكيفية جعلها كذلكالحصول على نظام معادلات كرامر الخطية؟ كل شيء بسيط للغاية. يجب أن نبني مصفوفة من المعاملات العددية (دائمًا تقريبًا) لنظام معادلات جبرية خطية. للقيام بذلك ، ما عليك سوى أخذ الأرقام أمام المجهولين وترتيبها في جدول بالترتيب الذي تمت كتابته فيه في النظام. إذا كان الرقم مسبوقًا بعلامة "-" ، فإننا نكتب معامل سلبي. لذا ، قمنا بتجميع المصفوفة الأولى من المعاملات للمجهول ، لا تشمل الأرقام بعد علامات متساوية (بطبيعة الحال ، يجب تقليل المعادلة إلى شكل أساسي عندما يكون الرقم فقط على اليمين وجميع المجهول مع المعاملات على اليسار). ثم تحتاج إلى عمل بعض المصفوفات - واحدة لكل متغير. للقيام بذلك ، نستبدل كل عمود بمعامل في المصفوفة الأولى بدوره بعمود من الأرقام بعد علامة المساواة. وبالتالي ، نحصل على العديد من المصفوفات ثم نجد محدداتها.
بعد أن وجدنا التصفيات ، الحالةصغير. لدينا مصفوفة أولية ، وهناك العديد من المصفوفات الناتجة التي تتوافق مع المتغيرات المختلفة. للحصول على حلول النظام ، نقسم محدد الجدول الناتج على محدد الجدول الأولي. الرقم الناتج هو قيمة أحد المتغيرات. وبالمثل نجد كل المجهول.
هناك العديد من الطرق لالحصول على حل لأنظمة المعادلات الخطية. على سبيل المثال ، ما يسمى بطريقة Gauss-Jordan ، والتي تستخدم لإيجاد حلول لنظام المعادلات التربيعية وترتبط أيضًا باستخدام المصفوفات. هناك أيضًا طريقة جاكوبي لحل نظام المعادلات الجبرية الخطية. من الأسهل التكيف مع جهاز الكمبيوتر ويستخدم في تكنولوجيا الكمبيوتر.
ينشأ التعقيد عادة إذا كان عدد المعادلاتأقل من عدد المتغيرات. ثم يمكننا بالتأكيد أن نقول إما أن النظام غير متوافق (أي أنه ليس له جذور) ، أو أن عدد حلوله يميل إلى ما لا نهاية. إذا كانت لدينا الحالة الثانية ، فنحن بحاجة إلى كتابة الحل العام لنظام المعادلات الخطية. ستحتوي على متغير واحد على الأقل.
لذا فقد وصلنا إلى نهايته.لتلخيص: درسنا ما هو النظام والمصفوفة ، وتعلمنا كيفية إيجاد حل عام لنظام المعادلات الخطية. بالإضافة إلى ذلك ، نظرنا في خيارات أخرى. اكتشفنا كيفية حل نظام المعادلات الخطية: طريقة Gauss وطريقة Cramer. تحدثنا عن الحالات الصعبة وطرق أخرى لإيجاد الحلول.
في الواقع ، هذا الموضوع أكثر شمولاً ، وإذا كنت ترغب في فهمه بشكل أفضل ، فإننا نوصي بقراءة المزيد من الأدبيات المتخصصة.
