Ένα ορθογώνιο με ορθές γωνίες είναι ... το άθροισμα των γωνιών ενός τετράπλευρου

Ένα από τα πιο ενδιαφέροντα θέματα γεωμετρίας απότο σχολικό μάθημα είναι "Quadrangles" (βαθμός 8). Τι είδους τέτοια σχήματα υπάρχουν, τι ειδικές ιδιότητες διαθέτουν; Τι είναι μοναδικό για τα τετράγωνα ενενήντα μοιρών; Ας ρίξουμε μια ματιά σε όλα αυτά.

Τι γεωμετρικό σχήμα ονομάζεται τετράγωνο

Τα πολύγωνα που αποτελούνται από τέσσερις πλευρές και, κατά συνέπεια, από τέσσερις κορυφές (γωνίες) ονομάζονται τετράγωνα στην Ευκλείδεια γεωμετρία.

Η ιστορία του ονόματος αυτού του τύπου μορφών είναι ενδιαφέρουσα.Στη ρωσική γλώσσα, το ουσιαστικό "τετράγωνο" σχηματίζεται από τη φράση "τέσσερις γωνίες" (ακριβώς όπως "τρίγωνο" - τρεις γωνίες, "πεντάγωνο" - πέντε γωνίες, κ.λπ.).

Ωστόσο, στα Λατινικά (μέσω των οποίωνήρθαν πολλοί γεωμετρικοί όροι στις περισσότερες γλώσσες του κόσμου) ονομάζεται τετράπλευρος. Αυτή η λέξη σχηματίζεται από το αριθμητικό τετράγωνο (τέσσερα) και το ουσιαστικό latus (πλευρά). Μπορούμε λοιπόν να συμπεράνουμε ότι οι αρχαίοι ονόμαζαν αυτό το πολύγωνο "τετράπλευρη".

Παρεμπιπτόντως, αυτό το όνομα (με έμφαση στην παρουσία τουμορφές αυτού του είδους των τεσσάρων πλευρών, όχι γωνιών) έχουν επιβιώσει σε ορισμένες σύγχρονες γλώσσες. Για παράδειγμα, στα Αγγλικά είναι τετράπλευρο και στα Γαλλικά είναι τετράπλευρο.

Επιπλέον, στις περισσότερες σλαβικές γλώσσεςο τύπος των εν λόγω αριθμών αναγνωρίζεται ακόμη από τον αριθμό των γωνιών και όχι από τις πλευρές. Για παράδειγμα, στα Σλοβακικά (vortvoruholník), στα Βουλγαρικά ("chetyr'g'lnik"), στα Λευκορωσικά ("chatyrohkutnik"), στα Ουκρανικά ("chotirikutnik"), στα Τσεχικά (čtyřúhelník), αλλά στα Πολωνικά το τετράγωνο καλείται με τον αριθμό των πλευρών - cz.

Τι είδους τετράγωνα μελετούνται στο σχολικό πρόγραμμα

Στη σύγχρονη γεωμετρία, υπάρχουν 4 τύποι πολυγώνων με τέσσερις πλευρές.

• Παραλληλόγραμμο. Οι απέναντι πλευρές ενός τέτοιου τετραγώνου είναι παράλληλες μεταξύ τους και, κατά συνέπεια, είναι επίσης ίσες σε ζεύγη.
• Τραπέζιο (τραπέζιο ή τραπεζοειδές). Αυτό το τετράπλευρο αποτελείται από δύο αντίθετες πλευρές, παράλληλες μεταξύ τους. Ωστόσο, το άλλο ζευγάρι πλευρών δεν διαθέτει αυτό το χαρακτηριστικό.

Τύποι τετραγώνων που δεν έχουν μελετηθεί στο μάθημα γεωμετρίας του σχολείου

Εκτός από τα παραπάνω, υπάρχουν δύο ακόμη τύποι τετραγώνων στους οποίους οι μαθητές δεν εισάγονται στα μαθήματα γεωμετρίας, λόγω της ιδιαίτερης πολυπλοκότητάς τους.

• Δελτοειδές (χαρταετός) - ένα σχήμα στο οποίο καθένα από τα δύο ζεύγη γειτονικώνοι πλευρές είναι ίσες σε μήκος μεταξύ τους. Ένα τέτοιο τετράγωνο πήρε το όνομά του λόγω του γεγονότος ότι στην εμφάνιση μοιάζει αρκετά έντονα με το γράμμα του ελληνικού αλφαβήτου - "δέλτα".
• Αντιπαραλληλόγραμμα - αυτή η μορφή είναι τόσο περίπλοκη όσο το όνομά της.Σε αυτό, δύο αντίθετες πλευρές είναι ίσες, αλλά ταυτόχρονα δεν είναι παράλληλες μεταξύ τους. Επιπλέον, οι μεγάλες απέναντι πλευρές αυτού του τετράπλευρου τέμνονται, όπως και οι επεκτάσεις των άλλων δύο, μικρότερων πλευρών.

Τύποι παραλληλόγραμμων

Έχοντας ασχοληθεί με τους κύριους τύπους τετραγώνων, θα πρέπει να προσέξετε τα υποείδη του. Έτσι, όλα τα παραλληλόγραμμα, με τη σειρά τους, χωρίζονται επίσης σε τέσσερις ομάδες.

• Κλασικό παραλληλόγραμμο.
• Ρόμβος (ρόμβος) - τετράγωνο σχήμα με ίσες πλευρές. Οι διαγώνιες τέμνονται σε ορθή γωνία, διαιρώντας τον ρόμβο σε τέσσερα ίσια ορθογώνια τρίγωνα.
• Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο Το όνομα μιλάει από μόνο του. Δεδομένου ότι είναι ορθογώνιο με ορθές γωνίες (καθένα από αυτά είναι ίσο με ενενήντα μοίρες). Οι αντίθετες πλευρές του δεν είναι μόνο παράλληλες μεταξύ τους, αλλά και ίσες.
• Πλατεία (τετράγωνο). Όπως ένα ορθογώνιο, είναι τετράπλευρο μεορθές γωνίες, αλλά όλες οι πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους. Αυτό κάνει αυτό το σχήμα κοντά σε έναν ρόμβο. Έτσι μπορεί να υποστηριχθεί ότι ένα τετράγωνο είναι ένας σταυρός μεταξύ ενός ρόμβου και ενός ορθογωνίου.

Ειδικές ιδιότητες ενός ορθογωνίου

Λαμβάνοντας υπόψη τα σχήματα στα οποία κάθε μια από τις γωνίεςμεταξύ των πλευρών, ίσο με ενενήντα μοίρες, αξίζει να μείνετε πιο κοντά στο ορθογώνιο. Λοιπόν, ποια είναι τα ειδικά χαρακτηριστικά που το διακρίνουν από άλλα παραλληλόγραμμα;

Να ισχυριστεί ότι η θεωρούμενηένα παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο, οι διαγώνιες του πρέπει να είναι ίσες μεταξύ τους και κάθε μία από τις γωνίες πρέπει να είναι ευθείες. Επιπλέον, το τετράγωνο των διαγωνίων του πρέπει να αντιστοιχεί στο άθροισμα των τετραγώνων των δύο γειτονικών πλευρών αυτού του σχήματος. Με άλλα λόγια, ένα κλασικό ορθογώνιο αποτελείται από δύο ορθογώνια τρίγωνα, και σε αυτά, όπως γνωρίζετε, το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών είναι ίσο με το τετράγωνο της υπότασης. Η διαγώνια του τετραγώνου που εξετάζεται λειτουργεί ως υποτείνουσα.

Τα τελευταία από τα αναγραφόμενα σημάδια αυτού του σχήματοςείναι επίσης η ειδική ιδιοκτησία του. Εκτός αυτού, υπάρχουν και άλλοι. Για παράδειγμα, το γεγονός ότι όλες οι πλευρές του τετραγώνου που μελετήθηκαν με ορθές γωνίες είναι ταυτόχρονα τα ύψη του.

Επιπλέον, εάν σχεδιάσετε έναν κύκλο γύρω από οποιοδήποτε ορθογώνιο, η διάμετρος του θα είναι ίση με τη διαγώνια του εγγεγραμμένου σχήματος.

Μεταξύ άλλων ιδιοτήτων αυτού του τετράπλευρου, τότε,ότι είναι επίπεδη και δεν υπάρχει στη γεωμετρία εκτός Ευκλείδειας. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι σε ένα τέτοιο σύστημα δεν υπάρχουν τετράγωνα σχήματα, το άθροισμα των γωνιών των οποίων ισούται με τριακόσια εξήντα μοίρες.

Η πλατεία και τα χαρακτηριστικά της

Έχοντας ασχοληθεί με τα σημεία και τις ιδιότητες ενός ορθογωνίου, θα πρέπει να δώσετε προσοχή στο δεύτερο τετράγωνο που είναι γνωστό στην επιστήμη με ορθές γωνίες (αυτό είναι ένα τετράγωνο).

Όντας στην πραγματικότητα το ίδιο ορθογώνιο, αλλά με ίσες πλευρές, αυτός ο αριθμός έχει όλες τις ιδιότητές του. Αλλά σε αντίθεση με αυτόν, το τετράγωνο υπάρχει σε μη ευκλείδεια γεωμετρία.

Επιπλέον, αυτός ο αριθμός έχει και άλλουςδικά χαρακτηριστικά. Για παράδειγμα, το γεγονός ότι οι διαγώνιες ενός τετραγώνου δεν είναι μόνο ίσες μεταξύ τους, αλλά και τέμνονται σε ορθή γωνία. Έτσι, όπως ένας ρόμβος, ένα τετράγωνο αποτελείται από τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα, στα οποία χωρίζεται από τις διαγώνιες.

Επιπλέον, αυτό το σχήμα είναι το πιο συμμετρικό από όλα τα τετράγωνα.

Ποιο είναι το άθροισμα των γωνιών ενός τετράπλευρου

Λαμβάνοντας υπόψη τα χαρακτηριστικά των τετραγώνων της ευκλείδειας γεωμετρίας, αξίζει να δοθεί προσοχή στις γωνίες τους.

Έτσι, σε καθένα από τα παραπάνω σχήματα,ανεξάρτητα από το αν έχει ορθές γωνίες ή όχι, το συνολικό άθροισμά τους είναι πάντα το ίδιο - τριακόσια εξήντα μοίρες. Αυτό είναι ένα μοναδικό χαρακτηριστικό αυτού του τύπου φιγούρας.

Περίμετρος των τετραγώνων

Έχοντας ασχοληθεί με το άθροισμα των γωνιώντετράγωνο και άλλες ειδικές ιδιότητες των μορφών αυτού του τύπου, αξίζει να μάθετε ποιοι τύποι είναι καλύτεροι για να υπολογίσετε την περίμετρο και την περιοχή τους.

Για να προσδιορίσετε την περίμετρο οποιουδήποτε τετραγώνου, απλά πρέπει να προσθέσετε μαζί το μήκος όλων των πλευρών του.

Για παράδειγμα, σε σχήμα KLMN, η περίμετρος του μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο: P = KL + LM + MN + KN. Αν αντικαταστήσετε τους αριθμούς εδώ, θα λάβετε: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

Στην περίπτωση που το εν λόγω σχήμα είναι ρόμβοςή ένα τετράγωνο, για να βρείτε την περίμετρο, μπορείτε να απλοποιήσετε τον τύπο πολλαπλασιάζοντας απλώς το μήκος μιας από τις πλευρές του με τέσσερα: P = KL x 4. Για παράδειγμα: 6 x 4 = 24 (cm).

Τετράπλευροι τύποι περιοχής

Έχοντας καταλάβει πώς να βρείτε την περίμετρο οποιουδήποτε σχήματος με τέσσερις γωνίες και πλευρές, αξίζει να εξετάσετε τους πιο δημοφιλείς και απλούς τρόπους για να βρείτε την περιοχή του.

• Ο κλασικός τρόπος υπολογισμού του είναιχρησιμοποιήστε τον τύπο S = 1/2 KM x LN x SIN LON. Αποδεικνύεται ότι η περιοχή οποιουδήποτε τετραγώνου είναι το ήμισυ του προϊόντος των διαγώνων του από το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους.
• Εάν το σχήμα του οποίου βρίσκεται η περιοχήένα ορθογώνιο ή τετράγωνο (του οποίου οι διαγώνιες είναι πάντα ίσες μεταξύ τους), μπορείτε να απλοποιήσετε τον τύπο τετραγωνίζοντας το μήκος μιας διαγώνιας και πολλαπλασιάζοντάς το με το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους και χωρίζοντας τα πάντα στο μισό. Για παράδειγμα: S = 1/2 KM ² x SIN LON.
• Επίσης, όταν βρίσκετε την περιοχή ενός ορθογωνίου,Βοηθήστε πληροφορίες σχετικά με την περίμετρο του εν λόγω σχήματος και το μήκος μιας από τις πλευρές του. Σε αυτήν την περίπτωση, θα ήταν πιο σκόπιμο να χρησιμοποιήσετε τον τύπο S = KN x (P - 2 KN) / 2.
• Στην περίπτωση ενός τετραγώνου, οι ιδιότητές του σας επιτρέπουν να χρησιμοποιήσετε αρκετούς επιπλέον τύπους για την εύρεση μιας περιοχής. Για παράδειγμα, γνωρίζοντας την περίμετρο του σχήματος, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτήν την επιλογή: S = P ²/ 16. Και αν είναι γνωστή η ακτίνα του κύκλου που είναι εγγεγραμμένη στο τετράγωνο, η περιοχή του τετραγώνου βρίσκεται με παρόμοιο τρόπο: S = 4r²... Εάν είναι γνωστή η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε θα γίνει άλλος τύπος: S = 2R²... Επίσης, το εμβαδόν του τετραγώνου είναι 0,8 φορές το μήκος της γραμμής που τραβιέται από τη γωνία του σχήματος στο μέσο της αντίθετης πλευράς.
• Εκτός από όλα τα παραπάνω, υπάρχει επίσηςέναν ξεχωριστό τύπο για την εύρεση της περιοχής, που υπολογίζεται ειδικά για το παραλληλόγραμμο. Μπορεί να εφαρμοστεί εάν είναι γνωστό το μήκος των δύο υψών του σχήματος και το μέγεθος της γωνίας μεταξύ τους. Στη συνέχεια, τα ύψη πρέπει να πολλαπλασιαστούν μεταξύ τους και το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους. Αξίζει να σημειωθεί ότι αυτός ο τύπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για όλα τα σχήματα που ανήκουν σε παραλληλόγραμμα (δηλαδή, σε ορθογώνιο, ρόμβο και τετράγωνο).

Άλλες ιδιότητες των τετραγώνων: εγγεγραμμένοι και περιορισμένοι κύκλοι

Έχοντας εξετάσει τα χαρακτηριστικά και τις ιδιότητες ενός τετράπλευρου ως σχήμα της ευκλείδειας γεωμετρίας, αξίζει να δοθεί προσοχή στην ικανότητα περιγραφής ή εγγραφής κύκλων μέσα σε αυτό:

• Εάν το άθροισμα των αντίθετων γωνιών του σχήματος είναι εκατόν ογδόντα βαθμούς το καθένα και είναι ίσο σε ζεύγη, τότε μπορεί να περιγραφεί ελεύθερα ένας κύκλος γύρω από ένα τέτοιο τετράγωνο.
• Σύμφωνα με το θεώρημα του Πτολεμαίου, αν είναι έξωενός πολυγώνου με τέσσερις πλευρές, περιγράφεται ένας κύκλος, τότε το προϊόν των διαγωνίων του είναι ίσο με το άθροισμα των προϊόντων των αντίθετων πλευρών αυτού του σχήματος. Έτσι, ο τύπος θα έχει την εξής μορφή: KM x LN = KL x MN + LM x KN.
• Εάν χτίσετε ένα τετράγωνο στο οποίο τα αθροίσματα των αντίθετων πλευρών είναι ίσα μεταξύ τους, τότε μπορεί να εγγραφεί ένας κύκλος σε αυτό.

Έχοντας καταλάβει τι είναι ένα τετράγωνο,τι είδους υπάρχουν, ποια από αυτά έχουν μόνο ορθές γωνίες μεταξύ των πλευρών και ποιες ιδιότητες έχουν, αξίζει να θυμόμαστε όλο αυτό το υλικό. Ειδικότερα, ο τύπος για την εύρεση της περιμέτρου και της περιοχής των θεωρούμενων πολυγώνων. Σε τελική ανάλυση, οι μορφές αυτού του σχήματος είναι από τις πιο κοινές και αυτή η γνώση μπορεί να είναι χρήσιμη για υπολογισμούς στην πραγματική ζωή.