विश्वास अंतराल। यह क्या है और इसका उपयोग कैसे किया जा सकता है?

विश्वास अंतराल क्षेत्र से हमारे पास आयाआंकड़े। यह एक विशिष्ट श्रेणी है जिसका उपयोग उच्च स्तर की विश्वसनीयता के साथ एक अज्ञात पैरामीटर का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। इसे समझाने का सबसे आसान तरीका एक उदाहरण है।

मान लीजिए आपको कुछ जांच करने की आवश्यकता हैएक यादृच्छिक चर, उदाहरण के लिए, ग्राहक के अनुरोध के लिए सर्वर की प्रतिक्रिया दर। जब भी कोई उपयोगकर्ता किसी विशिष्ट साइट का पता टाइप करता है, तो सर्वर एक अलग गति से उस पर प्रतिक्रिया करता है। इस प्रकार, अध्ययन प्रतिक्रिया समय यादृच्छिक है। तो, विश्वास अंतराल आपको इस पैरामीटर की सीमाओं को निर्धारित करने की अनुमति देता है, और फिर यह सुनिश्चित करना संभव होगा कि 95% की संभावना के साथ, सर्वर प्रतिक्रिया की दर उस श्रेणी में होगी जो हमने गणना की थी।

या आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि कितने लोग हैंफर्म के ट्रेडमार्क के बारे में जानें। जब विश्वास अंतराल की गणना की जाती है, तो यह संभव होगा, उदाहरण के लिए, यह कहना कि 95% संभावना के साथ इस ट्रेडमार्क के बारे में जानने वाले उपभोक्ताओं की हिस्सेदारी 27% से 34% तक है।

यह शब्द इस तरह की मात्रा से निकटता से संबंधित हैआत्मविश्वास की संभावना। यह इस संभावना का प्रतिनिधित्व करता है कि वांछित पैरामीटर विश्वास अंतराल में शामिल है। हमारी वांछित सीमा कितनी बड़ी होगी यह इस मूल्य पर निर्भर करता है। जितना अधिक मूल्य लेता है, आत्मविश्वास अंतराल संकीर्ण हो जाता है, और इसके विपरीत। आमतौर पर यह 90%, 95% या 99% पर सेट होता है। 95% मूल्य सबसे लोकप्रिय है।

यह सूचक भी प्रभावित होता हैअवलोकनों और नमूना आकार का विचरण। इसकी परिभाषा इस धारणा पर आधारित है कि अध्ययन के तहत विशेषता सामान्य वितरण कानून का पालन करती है। इस कथन को गॉस के नियम के रूप में भी जाना जाता है। उनके अनुसार, निरंतर यादृच्छिक चर की सभी संभावनाओं का ऐसा वितरण सामान्य कहा जाता है, जिसे संभाव्यता घनत्व द्वारा वर्णित किया जा सकता है। यदि सामान्य वितरण की धारणा गलत हो जाती है, तो अनुमान गलत हो सकता है।

सबसे पहले, आइए जानें कि गणना कैसे करेंअपेक्षित मूल्य के लिए विश्वास अंतराल। दो मामले यहां संभव हैं। फैलाव (एक यादृच्छिक चर के प्रसार की डिग्री) जाना जा सकता है या नहीं। यदि यह ज्ञात है, तो हमारे विश्वास अंतराल की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

хср - t * σ / (sqrt (n)) <= α <= хср + t * rt / (sqrt (n)), जहाँ

α एक विशेषता है

t लाप्लास वितरण तालिका से एक पैरामीटर है,

sqrt (n) - कुल नमूना आकार का वर्गमूल,

root विचरण का वर्गमूल है।

यदि विचरण अज्ञात है, तो यह गणना की जा सकती है यदि हम वांछित विशेषता के सभी मूल्यों को जानते हैं। इसके लिए, निम्न सूत्र का उपयोग किया जाता है:

σ2 = х2ср - (хср) 2, कहाँ

х2ср - जांच की गई सुविधा के वर्गों का औसत मूल्य,

(хср) 2 - इस सुविधा के औसत मूल्य का वर्ग।

वह फॉर्मूला जिसके द्वारा इस मामले में विश्वास अंतराल की गणना की जाती है, थोड़ा बदलता है:

хср - t * s / (sqrt (n)) <= α <= хср + t * s / (sqrt (n)), जहाँ

хср - नमूना माध्य,

α एक विशेषता है

t एक पैरामीटर है जो छात्र की वितरण तालिका t = t (n; n-1) का उपयोग करके पाया जाता है;

sqrt (n) - कुल नमूना आकार का वर्गमूल,

s विचरण का वर्गमूल है।

इस उदाहरण पर विचार करें।मान लीजिए कि, 7 मापों के परिणामों के आधार पर, अध्ययन की गई सुविधा का औसत मूल्य 30 के बराबर और नमूना प्रसरण 36 के बराबर निर्धारित किया गया था। 99% विश्वास अंतराल की संभावना के साथ खोजना आवश्यक है, जिसमें मापा पैरामीटर का सही मूल्य शामिल है।

सबसे पहले, हम परिभाषित करते हैं कि t: t = t (0.99; 7-1) = 3.71 क्या है। उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

хср - t * s / (sqrt (n)) <= α <= хср + t * s / (sqrt (n))

30 - 3.71 * 36 / (sqrt (7)) <= α <= 30 + 3.71 * 36 / (sqrt (7))

21.587 <= α <= 38.413

विचरण के लिए आत्मविश्वास का अंतरालएक ज्ञात माध्य के मामले में और जब गणितीय अपेक्षा पर कोई डेटा नहीं होता है, तो दोनों की गणना की जाती है, लेकिन केवल विचरण के निष्पक्ष अनुमान के बिंदु का मूल्य ज्ञात होता है। हम इसकी गणना के लिए यहां सूत्र नहीं देंगे, क्योंकि वे काफी जटिल हैं और यदि वांछित है, तो वे हमेशा नेट पर पाए जा सकते हैं।

हम केवल ध्यान दें कि एक्सेल या एक नेटवर्क सेवा का उपयोग करके विश्वास अंतराल को निर्धारित करना सुविधाजनक है, जिसे कहा जाता है।