पेंडुलम का अध्ययन - गणितीय पेंडुलम की दोलन अवधि कैसे ज्ञात करें

ऑसिलेटरी प्रक्रियाओं की विविधताहमारे चारों ओर, इतना महत्वपूर्ण है कि आप बस आश्चर्य करते हैं - क्या ऐसा कुछ है जो संकोच नहीं करता है? यह संभावना नहीं है, क्योंकि यहां तक ​​कि एक पूरी तरह से गतिहीन वस्तु का कहना है कि एक पत्थर जो हजारों वर्षों से लगातार झूठ बोल रहा है, अभी भी दोलन प्रक्रियाओं को करता है - यह समय-समय पर दिन के दौरान गर्म होता है, बढ़ता है, और रात में यह ठंडा हो जाता है और आकार में कम हो जाता है। और निकटतम उदाहरण - पेड़ और शाखाएँ - अथक रूप से उनके सभी जीवन को प्रभावित करते हैं। लेकिन वह पत्थर है, वृक्ष है। और क्या होगा अगर 100-मंजिला इमारत हवा के दबाव से उसी तरह से उतार-चढ़ाव करती है? यह ज्ञात है, उदाहरण के लिए, कि ओस्टैंकिनो टीवी टॉवर का शीर्ष 5-12 मीटर से आगे और पीछे विचलन करता है, 500 मीटर की ऊंचाई के साथ एक पेंडुलम क्या नहीं है। और तापमान परिवर्तन से आकार में ऐसी संरचना कितनी बढ़ जाती है। ? इसमें मशीनों और तंत्रों के निकायों का कंपन भी शामिल है। जरा सोचिए, जिस विमान में आप उड़ रहे हैं वह लगातार हिल रहा है। क्या आपने उड़ान के बारे में अपना विचार बदल दिया है? यह इसके लायक नहीं है, क्योंकि कंपन हमारे आसपास की दुनिया का सार हैं, आप उनसे छुटकारा नहीं पा सकते हैं - आप उन्हें केवल खाते में ले जा सकते हैं और उन्हें "अच्छे के लिए" लागू कर सकते हैं।

हमेशा की तरह, सबसे कठिन क्षेत्रों की खोजज्ञान (और वे सरल नहीं हैं) सरल मॉडल के साथ परिचित के साथ शुरू होता है। और एक पेंडुलम की तुलना में दोलन प्रक्रिया का कोई और अधिक सरल और समझने योग्य मॉडल नहीं है। यह भौतिक विज्ञान कक्षा में है, कि हम पहली बार इस तरह के एक रहस्यमय वाक्यांश को सुनते हैं - "एक गणितीय पेंडुलम के दोलन की अवधि।" पेंडुलम एक धागा और एक भार है। और यह विशेष पेंडुलम क्या है - गणितीय? और सब कुछ बहुत सरल है, इस पेंडुलम के लिए यह माना जाता है कि इसके धागे का कोई वजन नहीं है, यह अप्रत्यक्ष है, और सामग्री बिंदु गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में कंपन करता है। तथ्य यह है कि आमतौर पर, जब एक निश्चित प्रक्रिया पर विचार करते हैं, उदाहरण के लिए, कंपन, शारीरिक विशेषताओं को पूरी तरह से ध्यान में रखना असंभव है, उदाहरण के लिए, वजन, लोच, आदि। प्रयोग में सभी प्रतिभागियों। इसी समय, प्रक्रिया पर उनमें से कुछ का प्रभाव नगण्य है। उदाहरण के लिए, यह एक प्राथमिकता है कि कुछ शर्तों के तहत पेंडुलम के धागे का वजन और लोच गणितीय पेंडुलम की दोलन अवधि पर ध्यान देने योग्य प्रभाव नहीं है, क्योंकि वे नगण्य हैं, इसलिए, उनके प्रभाव को विचार से बाहर रखा गया है।

पेंडुलम के दोलन की अवधि का निर्धारण, शायद हीज्ञात का सबसे सरल नहीं, ऐसा लगता है: एक अवधि वह समय है जिसके दौरान एक पूर्ण दोलन होता है। चलो लोड के आंदोलन के चरम बिंदुओं में से एक पर एक निशान बनाते हैं। अब, हर बार जब बिंदु बंद हो जाता है, हम पूर्ण झूलों और समय की संख्या की गिनती करते हैं, कहते हैं, 100 झूलों। एक अवधि की अवधि निर्धारित करना बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है। आइए हम निम्नलिखित मामलों में एक विमान में एक पेंडुलम दोलन के लिए यह प्रयोग करते हैं:

- विभिन्न प्रारंभिक आयाम;

- कार्गो का अलग-अलग वजन।

हमें पहली नज़र में एक अद्भुत परिणाम मिलेगा:सभी मामलों में, गणितीय पेंडुलम के दोलन की अवधि अपरिवर्तित रहती है। दूसरे शब्दों में, सामग्री के प्रारंभिक आयाम और द्रव्यमान अवधि की अवधि को प्रभावित नहीं करते हैं। आगे की प्रस्तुति के लिए, केवल एक असुविधा है - टी। आंदोलन के दौरान भार में परिवर्तन होता है, फिर प्रक्षेप पथ के साथ बहाल बल परिवर्तनशील होता है, जो गणना के लिए असुविधाजनक होता है। थोड़ा धोखा - पेंडुलम को अनुप्रस्थ दिशा में भी घुमाएं - यह एक शंकु के आकार की सतह का वर्णन करना शुरू कर देगा, इसके रोटेशन की अवधि टी समान रहेगी, परिधि V के साथ गति की गति स्थिर है, परिधि जिसके साथ लोड चाल S = 2 movesr, और बहाल बल त्रिज्या के साथ निर्देशित है।

फिर हम गणितीय पेंडुलम के दोलन की अवधि की गणना करते हैं:

T = S / V = ​​2πr / v

यदि थ्रेड एल की लंबाई लोड के आयाम (कम से कम 15-20 बार) से काफी बड़ी है, और थ्रेड के झुकाव का कोण छोटा है (छोटे आयाम), तो हम मान सकते हैं कि बहाल बल पी। सेंट्रिपेटल फोर्स F के बराबर:
पी = एफ = एम * वी * वी / आर

दूसरी ओर, बल बहाल करने का क्षण और भार की जड़ता के क्षण बराबर हैं, और फिर

P * l = r * (m * g), जिसे हम प्राप्त करते हैं, यदि हम मानते हैं कि P = F, निम्नलिखित समानता है: r * m * g / l = m * v * v / r

पेंडुलम की गति का पता लगाना काफी आसान है: v = r * lg / l।

अब हम इस अवधि के लिए पहले भाव को याद करते हैं और गति मान को प्रतिस्थापित करते हैं:

टी = 2 lr / आर * /g / एल

तुच्छ परिवर्तनों के बाद, अपने अंतिम रूप में एक गणितीय पेंडुलम की दोलन अवधि के लिए सूत्र इस प्रकार है:

टी = 2 π √ एल / जी

अब, पहले प्रायोगिक रूप से प्राप्त किया गयाभार के द्रव्यमान से दोलन अवधि की स्वतंत्रता के परिणाम और आयाम एक विश्लेषणात्मक रूप में उनकी पुष्टि प्राप्त करते हैं और ऐसा बिल्कुल "आश्चर्यजनक" नहीं लगता है, जैसा कि वे कहते हैं, जिसे साबित करने की आवश्यकता थी।

अन्य बातों के अलावा, बाद के विचारगणितीय पेंडुलम की दोलन की अवधि के लिए अभिव्यक्ति, एक गुरुत्वाकर्षण के त्वरण को मापने के लिए एक उत्कृष्ट अवसर देख सकता है। ऐसा करने के लिए, यह पृथ्वी पर किसी भी बिंदु पर एक संदर्भ पेंडुलम एकत्र करने और इसके दोलनों की अवधि को मापने के लिए पर्याप्त है। इसलिए, अप्रत्याशित रूप से, एक सरल और सीधी पेंडुलम ने हमें पृथ्वी की पपड़ी के घनत्व के वितरण का अध्ययन करने का एक शानदार अवसर दिया, जो कि स्थलीय जीवाश्मों की जमा राशि की खोज में है। लेकिन यह बिल्कुल अलग कहानी है।