Stvarni brojevi i njihova svojstva

Пифагор утверждал, что число лежит в основании svijet zajedno s glavnim elementima. Platon je vjerovao da broj povezuje pojavu i noumenon, pomažući u spoznavanju, mjerenju i izvlačenju zaključaka. Aritmetika dolazi od riječi "aritmos" - broj, početak početaka u matematici. S njim se može opisati bilo koji objekt - od elementarne jabuke do apstraktnih prostora.

Potrebe kao faktor razvoja

U početnim fazama formiranja društvapotrebe ljudi bile su ograničene potrebom da vode račun - jedna vreća žita, dvije vreće žita itd. Za to su bili dovoljni prirodni brojevi, čiji je skup beskonačni pozitivni niz cjelobrojnih brojeva N.

Позже, с развитием математики как науки, возникла potreba za zasebnim poljem cijelih brojeva Z - uključuje negativne vrijednosti i nulu. Njegov izgled na razini kućanstava izazvan je činjenicom da je u primarnom računovodstvu bilo potrebno nekako popraviti dugove i gubitke. Na znanstvenoj razini negativni brojevi omogućili su rješavanje najjednostavnijih linearnih jednadžbi. Između ostalog, postalo je moguće slikati trivijalni koordinatni sustav, jer se pojavila referentna točka.

Sljedeći korak bila je potreba da se uđe frakcijskiBudući da znanost nije stajala mirno, sve više i više novih otkrića zahtijevalo je teorijsku osnovu za novi podsticaj za rast. Tako se pojavilo polje racionalnih brojeva Q.

Наконец, рациональность перестала удовлетворять zahtjeva, jer su svi novi zaključci zahtijevali opravdanje. Pojavilo se polje stvarnih brojeva R, Euclidova djela o neprobavljivosti nekih količina zbog njihove iracionalnosti. Odnosno, stari grčki matematičari pozicionirali su broj ne samo kao konstantu, već i kao apstraktnu količinu, koju karakterizira omjer nespojivih količina. Zbog činjenice da su se pojavili stvarni brojevi, takve količine kao "pi" i "e" "ugledale su svjetlo", a bez koje se moderna matematika ne bi mogla odvijati.

Konačna inovacija bio je složen broj C.Odgovorila je na brojna pitanja i pobijala prethodno uvedene postulate. Zbog brzog razvoja algebre, ishod je bio predvidiv - nemoguće je imati pravi broj, riješiti mnoge probleme. Na primjer, zahvaljujući složenim brojevima, isticale su se teorije niza i kaosa, a jednadžbe hidrodinamike su se proširile.

Teorija skupova. kantor

Koncept beskonačnosti u svako doba evociraosporovi, jer se to nije moglo ni dokazati ni opovrgnuti. U kontekstu matematike, koja je djelovala na strogo provjerenim postulatima, to se pokazalo najizrazitije, pogotovo jer je teološki aspekt i dalje imao težinu u znanosti.

Однако благодаря работам математика Георга Kantor je sve vrijeme padao na svoje mjesto. Dokazao je da postoje beskonačni skupovi beskonačnih skupova i da je polje R veće od polja N iako oba nemaju kraja. Sredinom XIX stoljeća njegove su ideje glasno nazvane glupostima i zločinom protiv klasičnih, nepokolebljivih kanona, ali vrijeme je sve stavilo na svoje mjesto.

Glavna svojstva polja R

Stvarni brojevi imaju ne samo ista svojstva kao i podopcije koje su u njih uključene, već ih nadopunjuju i drugi zbog veličine svojih elemenata:

• Nula postoji i pripada polju R. c + 0 = c za bilo koji c iz R.
• Nula postoji i pripada polju R. c x 0 = 0 za bilo koji c iz R.
• Odnos c: d za d ≠ 0 postoji i vrijedi za bilo koji c, d iz R.
• Polje R je naređeno, to jest, ako je c ≤ d, d ≤ c, onda je c = d za bilo koji c, d iz R.
• Dodavanje u polju R je komutativno, to jest c + d = d + c za bilo koji c, d iz R.
• Množenje u polju R je komutativno, to jest c x d = d x c za bilo koji c, d iz R.
• Dodavanje u polju R je asocijativno, to jest (c + d) + f = c + (d + f) za bilo koji c, d, f iz R.
• Množenje u polju R je asocijativno, to jest (c x d) x f = c x (d x f) za bilo koji c, d, f iz R.
• Za svaki broj iz polja R postoji suprotno njemu tako da je c + (-c) = 0, gdje je c, -c iz R.
• Za svaki broj iz polja R postoji inverza takva da je c x c^-1 = 1, gdje je c, c^-1 od R.
• Jedinica postoji i pripada R, pa je c x 1 = c, za bilo koji c iz R.
• Zakon distribucije vrijedi, pa je c x (d + f) = c x d + c x f, za bilo koji c, d, f iz R.
• U polju R nula nije jednaka.
• Polje R je tranzitivno: ako je c ≤ d, d ≤ f, onda je c ≤ f za bilo koji c, d, f iz R.
• U polju R red i dodavanje su međusobno povezani: ako je c ≤ d, tada je c + f ≤ d + f za bilo koji c, d, f iz R.
• U polju R red i množenje su međusobno povezani: ako je 0 ≤ c, 0 ≤ d, tada je 0 ≤ c x d za bilo koji c, d iz R.
• I negativni i pozitivni realni brojevi su kontinuirani, to jest, za svaki c, d iz R postoji f iz R tako da je c ≤ f ≤ d.

Modul u polju R

Stvarni brojevi uključuju takvu stvar kao modul.

Složeni i stvarni brojevi. Što je zajedničko i koje su razlike?

Općenito, složeni i stvarnibrojevi su jedno te isto, osim što je zamišljena jedinica s kojom sam se pridružio prvoj, čiji je kvadrat -1. Elementi polja R i C mogu se predstaviti u obliku sljedeće formule:

• c = d + f x i, gdje d, f pripadaju polju R, a i je imaginarna jedinica.

Da bismo dobili c iz R u ovom slučaju f samosmatra se jednakim nuli, odnosno ostaje samo stvarni dio broja. Zbog činjenice da polje kompleksnih brojeva ima isti skup svojstava kao i polje stvarnih, f x i = 0 ako je f = 0.

Što se tiče praktičnih razlika, primjerice upolje R, kvadratna jednadžba se ne rješava ako je diskriminator negativan, dok polje C ne nameće takvo ograničenje zbog uvođenja imaginarne jedinice i.

rezultati

"Opeke" aksioma i postulata na kojimatemelji se na matematici, ne skretaj se s puta. Sa njihove strane, u vezi s porastom informacija i uvođenjem novih teorija, položene su sljedeće „cigle“, koje u budućnosti mogu postati temelj za sljedeći korak. Na primjer, prirodni brojevi, iako su podskup stvarnog polja R, ne gube na važnosti. Na njima se temelji sva osnovna aritmetika s kojom čovjek počinje spoznavati svijet.

Sa praktičnog stajališta, stvarni brojeviizgledaju ravno. Na njemu možete odabrati smjer, naznačiti porijeklo i korak. Ravna linija sastoji se od beskonačnog broja točaka, od kojih svaka odgovara jedinstvenom stvarnom broju, bez obzira je li racionalna ili ne. Iz opisa je jasno da govorimo o konceptu na kojem je izgrađena i matematika općenito i posebno matematička analiza.