Co to są zera funkcji?Odpowiedź jest dość prosta - jest to termin matematyczny, co oznacza dziedzinę definicji danej funkcji, w której jej wartość wynosi zero. Zera funkcji nazywane są również pierwiastkami równania. Najprostszym sposobem wyjaśnienia, czym są zera funkcji, jest kilka prostych przykładów.
Rozważamy proste równanie y = x + 3. Ponieważ zero funkcji jest wartością argumentu, przy którym y uzyskało wartość zerową, podstawiamy 0 po lewej stronie równania:
0 = x + 3;
x = -3.
W tym przypadku -3 to pożądane zero. W przypadku tej funkcji istnieje tylko jeden pierwiastek równania, ale nie zawsze tak jest.
Rozważ inny przykład:
y = x2-9.
Podaj 0 po lewej stronie równania, jak w poprzednim przykładzie:
0 = x2th;
-9 = x2 .
Oczywiście w tym przypadku zerami funkcji będądwa: x = 3 i x = -3. Gdyby równanie miało argument trzeciego stopnia, byłyby trzy zera. Możemy wyciągnąć prosty wniosek, że liczba pierwiastków wielomianu odpowiada maksymalnemu stopniowi agrumentu w równaniu. Jednak wiele funkcji, na przykład y = x3 , na pierwszy rzut oka jest sprzeczne z tym stwierdzeniem.Logika i zdrowy rozsądek sugerują, że ta funkcja ma tylko jedno zero - w punkcie x = 0. Ale tak naprawdę są trzy korzenie, wszystkie się pokrywają. Jeśli rozwiążesz równanie w złożonej formie, stanie się oczywiste. x = 0 w tym przypadku pierwiastek, którego krotność wynosi 3. W poprzednim przykładzie zera nie pokrywały się, dlatego miały krotność 1.
Przedstawione przykłady pokazują, jak określić zera funkcji. Algorytm jest zawsze taki sam:
Złożoność ostatniego akapitu zależy od stopniaargument równania. Podczas rozwiązywania równań o wysokich stopniach szczególnie ważne jest, aby pamiętać, że liczba pierwiastków równania jest równa maksymalnemu stopniowi argumentu. Jest to szczególnie prawdziwe w przypadku równań trygonometrycznych, w których podział obu części przez sinus lub cosinus prowadzi do utraty korzeni.
Równania dowolnego stopnia najłatwiej rozwiązać za pomocą metody Hornera, która została opracowana specjalnie do znajdowania zer dowolnego wielomianu.
Wartość zer funkcji może być taka jakujemne lub dodatnie, rzeczywiste lub leżące w złożonej płaszczyźnie, pojedyncze lub wielokrotne. Lub pierwiastki równania mogą nie być. Na przykład funkcja y = 8 nie otrzyma wartości zerowej dla żadnego x, ponieważ nie zależy od tej zmiennej.
Równanie y = x2-16 ma dwa pierwiastki i oba leżą w płaszczyźnie złożonej: x1= 4і, x2= -4і.
Częstym błędem popełnianym przez studentów jest nadalktórzy tak naprawdę nie rozumieli, jakie są zera funkcji, jest to zamiana na zero argumentu (x), a nie na wartość (y) funkcji. Pewnie podstawiają x = 0 w równaniu i na tej podstawie znajdują y. Ale to niewłaściwe podejście.
Kolejnym błędem, jak już wspomniano, jest redukcjasinus lub cosinus w równaniu trygonometrycznym, dlatego jedno lub więcej zer funkcji jest traconych. Nie oznacza to, że nic nie da się zredukować w takich równaniach, po prostu w przyszłych obliczeniach należy wziąć pod uwagę te „zagubione” czynniki.
Aby zrozumieć, jakie są zera funkcji, możesz użyćprogramy matematyczne, takie jak klon. Można w nim zbudować wykres, wskazując żądaną liczbę punktów i żądaną skalę. Punkty, w których wykres przecina oś OX, to pożądane zera. Jest to jeden z najszybszych sposobów znalezienia pierwiastków wielomianu, zwłaszcza jeśli jego kolejność jest wyższa niż trzecia. Więc jeśli istnieje potrzeba regularnego wykonywania obliczeń matematycznych, znalezienie pierwiastków wielomianów o dowolnych stopniach, budowanie wykresów, klon lub podobny program będzie po prostu niezbędny do realizacji i weryfikacji obliczeń.
