Dwusieczna trójkąta i jej właściwości

Wśród wielu przedmiotówliceum jest takie jak „geometria”. Tradycyjnie uważa się, że przodkami tej systematycznej nauki są Grecy. Dziś grecką geometrię nazywa się elementarną, ponieważ to ona rozpoczęła badania najprostszych form: płaszczyzn, linii prostych, regularnych wielokątów i trójkątów. Skupimy uwagę na tym drugim, a dokładniej na dwusiecznej tej postaci. Dla tych, którzy już zapomnieli, dwusieczna trójkąta jest segmentem dwusiecznej jednego z rogów trójkąta, który dzieli go na pół i łączy wierzchołek z punktem znajdującym się po przeciwnej stronie.

Dwusieczna trójkąta ma wiele właściwości, które musisz znać, rozwiązując niektóre problemy:

• Dwusieczna kąta jest geometrycznym miejscem punktów, które są równo oddalone od boków sąsiadujących z narożnikiem.
• Dwusieczna w trójkącie dzieli przeciwieństwood strony narożnika do segmentów proporcjonalnych do sąsiednich stron. Na przykład, biorąc pod uwagę trójkąt MKB, w którym dwusiecznik rozciąga się od kąta K łączącego wierzchołek tego kąta z punktem A po przeciwnej stronie MB. Po przeanalizowaniu tej właściwości i naszego trójkąta, mamy MA / AB = MK / KB.
• Punkt, w którym przecinają się bisektory wszystkich trzech kątów trójkąta, jest środkiem koła wpisanego w ten sam trójkąt.
• Podstawa dwusiecznych jednego zewnętrznego i dwóch wewnętrznych kątów znajduje się na tej samej linii, pod warunkiem, że dwusieczna kąta zewnętrznego nie jest równoległa do przeciwnej strony trójkąta.
• Jeśli dwa dwusieczne jednego trójkąta są równe, wówczas trójkąt ten jest równoramienny.

Należy zauważyć, że jeśli podane są trzy dwusieczne, to konstrukcja trójkąta wzdłuż nich, nawet za pomocą kompasu, jest niemożliwa.

Bardzo często podczas rozwiązywania problemów dwusiecznatrójkąt jest nieznany, ale konieczne jest określenie jego długości. Aby rozwiązać taki problem, konieczna jest znajomość kąta podzielonego przez dwusieczną na pół oraz boków sąsiadujących z tym kątem. W tym przypadku pożądana długość jest określana jako stosunek podwojonego iloczynu boków sąsiadujących z narożnikiem i cosinusa kąta podzielonego na pół do sumy boków sąsiadujących z narożnikiem. Na przykład podany jest ten sam trójkąt MKB. Dwusieczna pozostawia kąt K i przecina przeciwną stronę MV w punkcie A. Kąt, z którego wyłania się dwusieczna, jest oznaczony przez y. Teraz zapiszmy wszystko, co jest powiedziane słowami w postaci wzoru: KA = (2 * MK * KB * cos y / 2) / (MK + KB).

Jeśli wartość kąta, z któregodwusieczna trójkąta jest nieznana, ale wszystkie jego boki są znane, wtedy do obliczenia długości dwusiecznej użyjemy dodatkowej zmiennej, którą nazywamy półmietrem i oznaczamy literą P: P = 1/2 * (MK + KB + MB). Następnie dokonamy pewnych zmian w poprzednim wzorze, za pomocą którego określono długość dwusiecznej, a mianowicie w liczniku ułamka umieścimy podwójny pierwiastek kwadratowy iloczynu długości boków sąsiadujących z narożnikiem na pół obwodu i iloraz, w którym długość trzeciego boku odejmuje się od połowy obwodu. Pozostaw mianownik bez zmian. W postaci formuły będzie wyglądać następująco: KA = 2 * √ (MK * KB * P * (P-MB)) / (MK + KB).

Dwusieczna w trójkącie prostokątnym mawszystkie te same właściwości, co w zwykłym, ale oprócz już znanego jest również nowa: dwusieczne kątów ostrych trójkąta prostokątnego podczas przecinania tworzą kąt 45 stopni. W razie potrzeby można to łatwo udowodnić, korzystając z właściwości trójkąta i sąsiednich kątów.

Dwusieczna trójkąta równoramiennego wraz zma kilka wspólnych właściwości. Pamiętajmy, czym jest ten trójkąt. Taki trójkąt ma dwa boki równe, a kąty przylegające do podstawy są równe. Wynika z tego, że dwusieczne schodzące do bocznych boków trójkąta równoramiennego są sobie równe. Ponadto dwusieczna, obniżona do podstawy, jest jednocześnie wysokością i środkową.