Poliedre. Tipuri de poliedre și proprietățile acestora

Poliedrele nu numai că apar în mod proeminent îngeometrie, dar regăsită și în viața de zi cu zi a fiecărei persoane. Ca să nu mai vorbim de obiectele de uz casnic create artificial sub formă de poligoane variate, de la o cutie de chibrituri la elemente arhitecturale, cristale sub formă de cub (sare), prisme (cristal), piramide (scheelită), octaedru (diamant) etc. întâlnit și în natură. .d.

Conceptul de poliedru, tipuri de poliedre în geometrie

Geometria ca știință conține o secțiune despre stereometrie,studiind caracteristicile și proprietățile figurilor tridimensionale. Corpurile geometrice, ale căror laturi în spațiul tridimensional sunt formate din planuri (fețe) mărginite, se numesc „poliedre”. Tipurile de poliedre au mai mult de o duzină de reprezentanți, diferind prin numărul și forma fețelor.

Cu toate acestea, toate poliedrele au proprietăți comune:

1. Toate au 3 componente esențiale:față (suprafața unui poligon), vârf (colțuri formate la joncțiunea fețelor), margine (latura unei figuri sau a unui segment format la joncțiunea a două fețe).
2. Fiecare margine a poligonului conectează două, și doar două, fețe care sunt adiacente una cu cealaltă.
3. Bulge înseamnă că corpul este completsituat doar pe o parte a planului pe care se află una dintre fețe. Regula se aplică tuturor fețelor unui poliedru. Astfel de forme geometrice în stereometrie se numesc poliedre convexe. Excepția este poliedrele stelate, care sunt derivate ale corpurilor geometrice poliedrice regulate.

Poliedrele pot fi împărțite aproximativ în:

1. Tipuri de poliedre convexe constând dindintre următoarele clase: obișnuite sau clasice (prismă, piramidă, paralelipipedă), regulate (numite și solide platonice), semi-regulate (al doilea nume este solide arhimedeice).
2. Poliedre neconvexe (stelate).

Prisma și proprietățile sale

Stereometria ca ramură a studiilor de geometrieproprietățile figurilor tridimensionale, tipurile de poliedre (prisma dintre ele). Un corp geometric se numește prismă, care are în mod necesar două fețe complet identice (se mai numesc și baze), situate în planuri paralele, și al n-lea număr de fețe laterale sub formă de paralelograme. La rândul său, prisma are, de asemenea, mai multe soiuri, inclusiv astfel de tipuri de poliedre precum:

1. Un paralelipiped se formează dacă există un paralelogram la bază - un poligon cu 2 perechi de unghiuri opuse egale și două perechi de laturi opuse congruente.
2. O prismă dreaptă are margini perpendiculare pe bază.
3. O prismă oblică se caracterizează prin prezența unghiurilor oblice (altele decât 90) între margini și bază.
4. O prismă regulată se caracterizează prin baze sub forma unui poligon regulat cu margini laterale egale.

Principalele proprietăți ale prismei:

• Fundații congruente.
• Toate marginile prismei sunt egale și paralele între ele.
• Toate fețele laterale sunt în formă de paralelogram.

Piramidă

O piramidă este un corp geometric careconstă dintr-o bază și din al n-lea număr de fețe triunghiulare conectate la un punct - vârful. Trebuie remarcat faptul că dacă fețele laterale ale piramidei sunt reprezentate în mod necesar prin triunghiuri, atunci la bază poate exista fie un poligon triunghiular, fie un patrulater, fie un pentagon, și așa mai departe ad infinitum. În acest caz, numele piramidei va corespunde poligonului de la bază. De exemplu, dacă un triunghi se află la baza unei piramide, este o piramidă triunghiulară, un patrulater este un patrulater și așa mai departe.

Piramidele sunt poliedre în formă de con. Tipurile de poliedre ale acestui grup, pe lângă cele enumerate mai sus, includ și următorii reprezentanți:

1. O piramidă regulată are la bază un poligon regulat, iar înălțimea sa este proiectată spre centrul unui cerc înscris în bază sau circumscris în jurul său.
2. O piramidă dreptunghiulară se formează atunci când una dintre marginile laterale se intersectează cu baza în unghi drept. În acest caz, este de asemenea corect să numim această margine înălțimea piramidei.

Proprietăți piramidale:

• Dacă toate marginile laterale ale piramideisunt congruente (de aceeași înălțime), apoi toate se intersectează cu baza la același unghi, iar în jurul bazei puteți desena un cerc cu un centru care coincide cu proiecția vârfului piramidei.
• Dacă un poligon regulat se află la baza piramidei, atunci toate marginile laterale sunt congruente, iar fețele sunt triunghiuri isoscele.

Poliedru regulat: tipuri și proprietăți ale poliedrelor

În stereometrie, un loc special este ocupat decorpuri geometrice cu fețe absolut egale, la vârfurile cărora sunt conectate același număr de muchii. Aceste corpuri se numesc solide platonice sau poliedre regulate. Există doar cinci tipuri de poliedre cu astfel de proprietăți:

1. Tetraedru.
2. Hexahedron.
3. Octaedru.
4. Dodecaedru.
5. Icosaedru.

Poliedrele regulate își datorează numelefilosoful antic grec Platon, care a descris aceste lucrări geometrice în lucrările sale și le-a conectat cu elementele naturale: pământ, apă, foc, aer. Cea de-a cincea cifră a primit o asemănare cu structura universului. În opinia sa, atomii elementelor naturale în formă seamănă cu tipurile de poliedre regulate. Datorită celei mai interesante proprietăți, simetrie, aceste corpuri geometrice au fost de mare interes nu numai pentru matematicienii și filosofii antici, ci și pentru arhitecții, pictorii și sculptorii din toate timpurile. Prezența a doar 5 tipuri de poliedre cu simetrie absolută a fost considerată o descoperire fundamentală, ba chiar li s-a acordat o legătură cu principiul divin.

Hexahedronul și proprietățile sale

Succesori ai lui Platon în formă de hexagona sugerat o asemănare cu structura atomilor pământului. Desigur, în prezent, această ipoteză a fost complet infirmată, ceea ce, totuși, nu împiedică figurile din timpurile moderne să atragă mintea unor figuri celebre prin estetica lor.

În geometrie, este considerat un hexaedru, cunoscut și ca un cubun caz special de paralelipiped, care, la rândul său, este un fel de prismă. În consecință, proprietățile cubului sunt legate de proprietățile prismei, cu singura diferență că toate fețele și unghiurile cubului sunt egale între ele. Următoarele proprietăți rezultă din aceasta:

1. Toate marginile unui cub sunt congruente și se află în planuri paralele una față de cealaltă.
2. Toate fețele sunt pătrate congruente (există 6 în cub), oricare dintre ele putând fi luate ca bază.
3. Toate unghiurile de fațetă sunt 90.
4. Un număr egal de margini emană din fiecare vârf, și anume 3.
5. Cubul are 9 axe de simetrie, care se intersectează toate la intersecția diagonalelor hexaedrului, numit centrul de simetrie.

Tetraedru

Un tetraedru este un tetraedru cu fețe egale sub formă de triunghiuri, fiecare dintre vârfurile cărora este un punct de joncțiune a trei fețe.

Proprietățile unui tetraedru regulat:

1. Toate fețele tetraedrului sunt triunghiuri echilaterale, ceea ce înseamnă că toate fețele tetraedrului sunt congruente.
2. Deoarece baza este reprezentată de o figură geometrică regulată, adică are laturi egale, atunci fețele tetraedrului converg în același unghi, adică toate unghiurile sunt egale.
3. Suma unghiurilor plane de la fiecare vârf este de 180, deoarece toate unghiurile sunt egale, atunci orice unghi al unui tetraedru regulat este 60.
4. Fiecare dintre vârfuri este proiectat până la punctul de intersecție a înălțimilor feței opuse (ortocentrului).

Octahedron și proprietățile sale

Descriind tipurile de poliedre regulate, nu se poate să nu observăm un astfel de obiect ca un octaedru, care poate fi reprezentat vizual sub forma a două piramide regulate pătrangulare lipite împreună cu baze.

Proprietăți Octahedron:

1. Chiar numele corpului geometric sugereazănumărul fețelor sale. Octaedrul este format din 8 triunghiuri echilaterale congruente, la fiecare dintre vârfurile cărora converg un număr egal de fețe, și anume 4.
2. Deoarece toate fețele octaedrului sunt egale, unghiurile sale inter-fațete sunt, de asemenea, egale, fiecare dintre ele fiind 60, iar suma unghiurilor plane ale oricărui vârf este, astfel, 240.

Dodecaedru

Dacă ne imaginăm că toate fețele unui corp geometric sunt un pentagon regulat, obținem un dodecaedru - o figură de 12 poligoane.

Proprietățile dodecaedrului:

1. Trei fețe se intersectează la fiecare vârf.
2. Toate fețele sunt egale și au aceeași lungime și zonă a muchiei.
3. Dodecaedrul are 15 axe și planuri de simetrie și oricare dintre ele trece prin vârful feței și mijlocul marginii opuse acesteia.

Icosaedru

Nu mai puțin interesantă decât dodecaedrul, figura icosaedrului este un corp geometric tridimensional cu 20 de fețe egale. Printre proprietățile unui colț cu 20 de fețe obișnuit, se pot remarca următoarele:

1. Toate fețele icosaedrului sunt triunghiuri isoscele.
2. Cinci fețe converg la fiecare vârf al poliedrului, iar suma unghiurilor de vârf adiacente este 300.
3. Icosaedrul, ca și dodecaedrul, are 15 axe și planuri de simetrie care trec prin punctele medii ale fețelor opuse.

Poligoane semi-regulate

Pe lângă solidele platonice, grupul convexPoliedrele includ, de asemenea, solide arhimediene, care sunt poliedre regulate trunchiate. Tipurile de poliedre ale acestui grup au următoarele proprietăți:

1. Corpurile geometrice au fețe egale perechide mai multe tipuri, de exemplu, un tetraedru trunchiat, ca un tetraedru regulat, are 8 fețe, dar în cazul unui corp arhimedic, 4 fețe vor fi triunghiulare și 4 vor fi hexagonale.
2. Toate unghiurile unui vârf sunt congruente.

Poliedre stelate

Reprezentanți ai tipurilor non-volumetrice de corpuri geometrice- poliedre stelate, ale căror fețe se intersectează între ele. Ele pot fi formate prin fuzionarea a două corpuri tridimensionale regulate sau prin extinderea fețelor lor.

Astfel, astfel de poliedre stelate sunt cunoscute sub denumirea de: octaedru stelat, dodecaedru, icosaedru, cuboctaedru, icosidodecaedru.